हार्मोनिक कंपन नियम के अनुसार होते हैं। हार्मोनिक कंपन

(अव्य. आयाम-परिमाण) किसी दोलनशील पिंड का उसकी संतुलन स्थिति से सबसे बड़ा विचलन है।

एक पेंडुलम के लिए, यह वह अधिकतम दूरी है जब गेंद अपनी संतुलन स्थिति से दूर जाती है (नीचे चित्र)। छोटे आयाम वाले दोलनों के लिए, चाप 01 या 02 की लंबाई और इन खंडों की लंबाई जैसी दूरी ली जा सकती है।

दोलनों का आयाम लंबाई की इकाइयों - मीटर, सेंटीमीटर आदि में मापा जाता है। दोलन ग्राफ पर, आयाम को साइनसॉइडल वक्र के अधिकतम (मॉड्यूलो) कोटि के रूप में परिभाषित किया गया है (नीचे चित्र देखें)।

दोलन काल.

दोलन काल- यह समय की सबसे छोटी अवधि है जिसके माध्यम से एक प्रणाली दोलन करते हुए फिर से उसी स्थिति में लौट आती है जिसमें वह मनमाने ढंग से चुने गए समय के प्रारंभिक क्षण में थी।

दूसरे शब्दों में, दोलन अवधि ( टी) वह समय है जिसके दौरान एक पूर्ण दोलन होता है। उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में, पेंडुलम बॉब को सबसे दाहिने बिंदु से संतुलन बिंदु तक जाने में लगने वाला समय है के बारे मेंसुदूर बाएँ बिंदु तक और बिंदु से वापस के बारे मेंफिर से सबसे दाहिनी ओर.

दोलन की पूरी अवधि में, पिंड इस प्रकार चार आयामों के बराबर पथ यात्रा करता है। दोलन की अवधि को समय की इकाइयों - सेकंड, मिनट आदि में मापा जाता है। दोलन की अवधि दोलनों के एक प्रसिद्ध ग्राफ से निर्धारित की जा सकती है (नीचे चित्र देखें)।

"दोलन अवधि" की अवधारणा, सख्ती से बोलती है, केवल तभी मान्य होती है जब दोलन मात्रा के मान एक निश्चित अवधि के बाद बिल्कुल दोहराए जाते हैं, यानी हार्मोनिक दोलनों के लिए। हालाँकि, यह अवधारणा लगभग दोहराई जाने वाली मात्राओं के मामलों पर भी लागू होती है, उदाहरण के लिए, के लिए नम दोलन.

दोलन आवृत्ति.

दोलन आवृत्ति- यह समय की प्रति इकाई किए गए दोलनों की संख्या है, उदाहरण के लिए, 1 एस में।

आवृत्ति की SI इकाई को नाम दिया गया है हेटर्स(हर्ट्ज) जर्मन भौतिक विज्ञानी जी. हर्ट्ज़ (1857-1894) के सम्मान में। यदि दोलन आवृत्ति ( वी) के बराबर है 1 हर्ट्ज, इसका मतलब है कि हर सेकंड एक दोलन होता है। दोलनों की आवृत्ति और अवधि निम्नलिखित संबंधों से संबंधित हैं:

दोलन के सिद्धांत में वे इस अवधारणा का भी उपयोग करते हैं चक्रीय, या गोलाकार आवृत्ति ω . यह सामान्य आवृत्ति से संबंधित है वीऔर दोलन अवधि टीअनुपात:

.

चक्रीय आवृत्तिप्रति निष्पादित दोलनों की संख्या है 2πसेकंड

फेडुन वी.आई. भौतिकी यांत्रिक कंपन और तरंगों पर व्याख्यान नोट्स

दोलन और लोचदार तरंगें।

व्याख्यान 9.

8 . हार्मोनिक दोलन और उनकी मुख्य विशेषताएं।

8. 1. मुक्त कंपन और उनकी मुख्य विशेषताएं। हार्मोनिक कंपन का प्रतिनिधित्व.

दोलनशील गति एक ऐसा आंदोलन है जिसमें समय के साथ कुछ हद तक दोहराव होता है। आंदोलन कहा जाता है आवधिक , यदि गति के दौरान मात्राओं का मान बदल जाता है। नियमित अंतराल पर दोहराया जाता है.

वह प्रणाली जो अपनी प्रकृति की परवाह किए बिना दोलन करती है, कहलाती है थरथरानवाला .

मुक्त कंपन.दोलन करने वाले एक पिंड (बिंदु) के लिए, स्थिर संतुलन की स्थिति होती है। आप बाहरी बल लगाकर शरीर को इस अवस्था से हटा सकते हैं। एक पिंड, जिसे संतुलन की स्थिति से हटा दिया जाता है और स्वयं के सामने प्रस्तुत किया जाता है, संतुलन की स्थिति के चारों ओर दोलन करता है। ऐसे दोलन कहलाते हैंअपना यामुक्त . वह आवृत्ति जिसके साथ सिस्टम ऐसे दोलन करता है, कहलाती है अपना।

हार्मोनिक दोलनों का विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व भी कम प्रसिद्ध नहीं है:

कहाँ - उतार-चढ़ाव वाली मात्रा (विस्थापन, गति, त्वरण, बल, आदि), - समय, - दोलन का आयाम (आयाम संतुलन स्थिति से दोलन मात्रा के विचलन के अधिकतम निरपेक्ष मान के बराबर है), - चक्रीय या वृत्ताकार आवृत्ति.

चक्रीय आवृत्ति का भौतिक अर्थ यह है कि यह संख्यात्मक रूप से प्रति निष्पादित दोलनों की संख्या के बराबर है
सेकंड, यानी

कहाँ - दोलन आवृत्ति, अर्थात्। समय की प्रति इकाई निष्पादित दोलनों की संख्या, - दोलन की अवधि - वह समय जिसके दौरान एक पूर्ण दोलन होता है।

परिमाण
दोलन चरण कहा जाता है। दोलन चरण समय का एक कार्य है जो दोलन मात्रा का मूल्य निर्धारित करता है समय के इस क्षण में . यह दर्शाता है कि आयाम का कौन सा भाग है किसी निश्चित समय पर ऑफसेट है:
. परिमाण दोलन का प्रारंभिक चरण कहा जाता है। यह मात्रा का मूल्य निर्धारित करता है समय के प्रारंभिक क्षण में
.

अंत में, वेक्टर प्रतिनिधित्व में, दोलन को एक वेक्टर के रूप में दर्शाया जाता है, जिसकी लंबाई दोलनों के आयाम के समानुपाती होती है (चित्र 8.2 देखें)। वेक्टर स्वयं ड्राइंग विमान में कोणीय वेग  के साथ इस विमान के लंबवत अक्ष के चारों ओर घूमता है और वेक्टर की उत्पत्ति से गुजरता है

8. 2. स्प्रिंग पेंडुलम. मुक्त कंपन का विभेदक समीकरण।

स्प्रिंग पेंडुलम. हार्मोनिक ऑसिलेटर का एक उदाहरण स्प्रिंग पेंडुलम है। स्प्रिंग पेंडुलम - द्रव्यमान का भार है टी, एक बिल्कुल लोचदार स्प्रिंग से जुड़ा हुआ है (चित्र 8.3 देखें) और एक लोचदार या अर्ध-लोचदार बल की कार्रवाई के तहत हार्मोनिक दोलन करता है (लोचदार बलों की तुलना में एक अलग प्रकृति की ताकतें, लेकिन यह भी

इस बल को पुनर्स्थापन बल कहते हैं। हमारे पास पुनर्स्थापन बल के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार है

हम पाते हैं प्राकृतिक दोलनों का विभेदक समीकरण

या जटिल रूप से त्रिकोणमितीय में संक्रमण के बाद

8. 3. 1. भौतिक पेंडुलम.

आइए हम संतुलन स्थिति से इस पिंड के छोटे विचलन के साथ एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक विशाल पिंड के घूमने पर विचार करें (चित्र 8.4 देखें)। इस मामले में, ऐसे निकाय को कहा जाता है भौतिक पेंडुलम . इस पिंड की गति का समीकरण घूर्णी गति की गतिशीलता का मूल समीकरण है

कहाँ - पिंड की जड़ता का क्षण, घूर्णन अक्ष के सापेक्ष गणना की गई,
- बलों के क्षणों का मुख्य वेक्टर, - शरीर के घूमने का कोण,
- शरीर का कोणीय त्वरण.

आइए हम आपको वह याद दिला दें एक छद्मवेक्टर है जो घूर्णन की धुरी के साथ निर्देशित होता है और दाहिने हाथ के पेंच नियम का पालन करता है। इसलिए, चित्र में. 8.4 वेक्टर ड्राइंग के तल से परे निर्देशित।

केवल गुरुत्वाकर्षण का क्षण ही किसी पिंड को घूमने का कारण बनता है
, जिसके अनुप्रयोग का बिंदु शरीर की जड़ता के केंद्र के साथ मेल खाता है। इसलिए, बलों के क्षणों का मुख्य वेक्टर

कहाँ
- घूर्णन अक्ष से जड़त्व केंद्र तक की दूरी,
-शरीर का भार

(9) को घूर्णन अक्ष पर प्रक्षेपित करते हुए, हम एक भौतिक पेंडुलम के दोलनों का अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं

8. 3. 2. गणितीय पेंडुलम.

यदि पिंड के आयाम घूर्णन अक्ष से जड़त्व केंद्र तक की दूरी से बहुत कम हैं, तो एक भौतिक पेंडुलम पर विचार किया जा सकता है गणितीय . यहां हम (8.13) द्वारा निर्धारित दोलन आवृत्ति की सीमा को पार करके इस कथन की वैधता की जांच करेंगे।

स्टीनर के प्रमेय के अनुसार, जड़ता का क्षण
, - जड़ता के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता का क्षण। अगर फिर काफी बड़ा
. इस तरह,

8. 4. हार्मोनिक कंपन में भाग लेने वाले शरीर की गति और त्वरण। थरथरानवाला की गतिज, स्थितिज और कुल यांत्रिक ऊर्जा।

स्प्रिंग पेंडुलम के उदाहरण का उपयोग करके, हम दोलन गति करते हुए एक पिंड की गति और त्वरण का पता लगाएंगे। परिभाषा के अनुसार, किसी पिंड की गति
. इसलिए, (8.1) के अनुसार हार्मोनिक कंपन के लिए

फिर, गतिशीलता के मूल नियम के अनुसार, पुनर्स्थापना बल

विकृत स्प्रिंग की संभावित ऊर्जा

इस अनुभाग का अध्ययन करते समय कृपया इसे ध्यान में रखें उतार चढ़ावविभिन्न भौतिक प्रकृति का वर्णन सामान्य गणितीय स्थितियों से किया जाता है। यहां हार्मोनिक दोलन, चरण, चरण अंतर, आयाम, आवृत्ति, दोलन अवधि जैसी अवधारणाओं को स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है।

यह ध्यान में रखना चाहिए कि किसी भी वास्तविक दोलन प्रणाली में माध्यम का प्रतिरोध होता है, अर्थात। दोलन मंद हो जायेंगे. दोलनों के अवमंदन को चिह्नित करने के लिए, एक अवमंदन गुणांक और एक लघुगणक अवमंदन कमी पेश की जाती है।

यदि दोलन किसी बाहरी, समय-समय पर बदलते बल के प्रभाव में होते हैं, तो ऐसे दोलनों को मजबूर कहा जाता है। वे अविरल होंगे. मजबूर दोलनों का आयाम प्रेरक बल की आवृत्ति पर निर्भर करता है। जैसे-जैसे मजबूर दोलनों की आवृत्ति प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति के करीब पहुंचती है, मजबूर दोलनों का आयाम तेजी से बढ़ता है। इस घटना को अनुनाद कहा जाता है।

विद्युत चुम्बकीय तरंगों के अध्ययन की ओर बढ़ते समय, आपको इसे स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता हैविद्युत चुम्बकीय तरंगअंतरिक्ष में फैलने वाला एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र है। विद्युत चुम्बकीय तरंगें उत्सर्जित करने वाली सबसे सरल प्रणाली विद्युत द्विध्रुव है। यदि एक द्विध्रुव हार्मोनिक दोलन से गुजरता है, तो यह एक मोनोक्रोमैटिक तरंग उत्सर्जित करता है।

सूत्र तालिका: दोलन और तरंगें

दोलनोंवे गतिविधियाँ या प्रक्रियाएँ जो समय के साथ एक निश्चित पुनरावृत्ति की विशेषता रखती हैं, कहलाती हैं। दोलन आस-पास की दुनिया में व्यापक हैं और उनकी प्रकृति बहुत भिन्न हो सकती है। ये यांत्रिक (पेंडुलम), विद्युत चुम्बकीय (दोलन सर्किट) और अन्य प्रकार के कंपन हो सकते हैं।
मुक्त, या अपनादोलनों को वे दोलन कहा जाता है जो किसी बाहरी प्रभाव द्वारा संतुलन से बाहर लाए जाने के बाद अपने आप में छोड़ी गई प्रणाली में घटित होते हैं। एक उदाहरण एक डोरी पर लटकी हुई गेंद का दोलन है।

विशेष भूमिकादोलन प्रक्रियाओं में दोलनों का सबसे सरल रूप होता है - हार्मोनिक कंपन.हार्मोनिक दोलन विभिन्न प्रकृति के दोलनों के अध्ययन के लिए एक एकीकृत दृष्टिकोण का आधार हैं, क्योंकि प्रकृति और प्रौद्योगिकी में पाए जाने वाले दोलन अक्सर हार्मोनिक के करीब होते हैं, और एक अलग रूप की आवधिक प्रक्रियाओं को हार्मोनिक दोलनों के सुपरपोजिशन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

हार्मोनिक कंपन ऐसे दोलन कहलाते हैं जिनमें दोलन की मात्रा नियम के अनुसार समय के साथ बदलती रहती है ज्याया कोज्या.

हार्मोनिक समीकरणइसका रूप है:

जहाँ एक - कंपन आयाम (संतुलन स्थिति से प्रणाली के सबसे बड़े विचलन का परिमाण); -वृत्ताकार (चक्रीय) आवृत्ति। कोसाइन के समय-समय पर बदलते तर्क को कहा जाता है दोलन चरण . दोलन चरण एक निश्चित समय t पर संतुलन स्थिति से दोलन मात्रा के विस्थापन को निर्धारित करता है। स्थिरांक φ समय t = 0 पर चरण मान का प्रतिनिधित्व करता है और इसे कहा जाता है दोलन का प्रारंभिक चरण . प्रारंभिक चरण का मूल्य संदर्भ बिंदु की पसंद से निर्धारित होता है। x मान -A से +A तक मान ले सकता है।

समय अंतराल टी जिसके माध्यम से दोलन प्रणाली की कुछ अवस्थाएँ दोहराई जाती हैं, दोलन काल कहा जाता है . कोसाइन 2π की अवधि के साथ एक आवधिक कार्य है, इसलिए, समय टी की अवधि के दौरान, जिसके बाद दोलन चरण को 2π के बराबर वृद्धि प्राप्त होगी, हार्मोनिक दोलन करने वाली प्रणाली की स्थिति दोहराई जाएगी। समय की इस अवधि T को हार्मोनिक दोलनों की अवधि कहा जाता है।

हार्मोनिक दोलनों की अवधि बराबर होती है : टी = 2π/ .

प्रति इकाई समय दोलनों की संख्या कहलाती है कंपन आवृत्ति ν.
हार्मोनिक आवृत्ति इसके बराबर है: ν = 1/T. आवृत्ति इकाई हेटर्स(हर्ट्ज) - प्रति सेकंड एक दोलन।

वृत्ताकार आवृत्ति = 2π/T = 2πν 2π सेकंड में दोलनों की संख्या देता है।

ग्राफ़िक रूप से, हार्मोनिक दोलनों को t पर x की निर्भरता के रूप में दर्शाया जा सकता है (चित्र 1.1.ए), और घूर्णन आयाम विधि (वेक्टर आरेख विधि)(चित्र.1.1.बी) .

घूर्णन आयाम विधि आपको हार्मोनिक कंपन समीकरण में शामिल सभी मापदंडों की कल्पना करने की अनुमति देती है। वास्तव में, यदि आयाम वेक्टर ए x-अक्ष के कोण φ पर स्थित है (चित्र 1.1. B देखें), तो x-अक्ष पर इसका प्रक्षेपण इसके बराबर होगा: x = Acos(φ)। कोण φ प्रारंभिक चरण है। यदि वेक्टर एदोलनों की गोलाकार आवृत्ति के बराबर कोणीय वेग के साथ घूर्णन में लाएं, फिर वेक्टर के अंत का प्रक्षेपण एक्स अक्ष के साथ आगे बढ़ेगा और -ए से +ए तक मान लेगा, और इस प्रक्षेपण का समन्वय होगा कानून के अनुसार समय के साथ परिवर्तन:
.

इस प्रकार, वेक्टर की लंबाई हार्मोनिक दोलन के आयाम के बराबर होती है, प्रारंभिक क्षण में वेक्टर की दिशा दोलनों के प्रारंभिक चरण के बराबर x अक्ष के साथ एक कोण बनाती है, और दिशा कोण में परिवर्तन होता है समय के साथ हार्मोनिक दोलनों के चरण के बराबर है। वह समय जिसके दौरान आयाम वेक्टर एक पूर्ण क्रांति करता है, हार्मोनिक दोलनों की अवधि टी के बराबर होता है। प्रति सेकंड वेक्टर क्रांतियों की संख्या दोलन आवृत्ति ν के बराबर है।

दोलन गति- किसी पिंड की आवधिक या लगभग आवधिक गति, जिसका समन्वय, गति और त्वरण समय के समान अंतराल पर लगभग समान मान लेते हैं।

यांत्रिक कंपन तब होते हैं, जब किसी पिंड को संतुलन स्थिति से हटाया जाता है, तो एक बल प्रकट होता है जो शरीर को वापस लौटाने की प्रवृत्ति रखता है।

विस्थापन x संतुलन स्थिति से शरीर का विचलन है।

आयाम ए शरीर के अधिकतम विस्थापन का मापांक है।

दोलन अवधि टी - एक दोलन का समय:

दोलन आवृत्ति

समय की प्रति इकाई किसी पिंड द्वारा किए गए दोलनों की संख्या: दोलनों के दौरान, गति और त्वरण समय-समय पर बदलते रहते हैं। संतुलन स्थिति में गति अधिकतम और त्वरण शून्य होता है। अधिकतम विस्थापन के बिंदुओं पर त्वरण अधिकतम तक पहुँच जाता है और गति शून्य हो जाती है।

हार्मोनिक कंपन अनुसूची

लयबद्धसाइन या कोसाइन के नियम के अनुसार होने वाले कंपन कहलाते हैं:

जहां x(t) समय t पर सिस्टम का विस्थापन है, A आयाम है, ω दोलनों की चक्रीय आवृत्ति है।

यदि आप ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ संतुलन स्थिति से शरीर के विचलन और क्षैतिज अक्ष के साथ समय की साजिश रचते हैं, तो आपको दोलन x = x(t) का एक ग्राफ मिलेगा - समय पर शरीर के विस्थापन की निर्भरता। मुक्त हार्मोनिक दोलनों के लिए, यह एक साइन तरंग या कोसाइन तरंग है। यह चित्र समय पर विस्थापन x की निर्भरता, वेग V x के प्रक्षेपण और त्वरण a x का ग्राफ दिखाता है।

जैसा कि ग्राफ़ से देखा जा सकता है, अधिकतम विस्थापन x पर, दोलन करने वाले शरीर की गति V शून्य है, त्वरण a, और इसलिए शरीर पर कार्य करने वाला बल, अधिकतम है और विस्थापन के विपरीत दिशा में निर्देशित है। संतुलन स्थिति में विस्थापन एवं त्वरण शून्य हो जाता है तथा गति अधिकतम होती है। त्वरण प्रक्षेपण में सदैव विस्थापन का विपरीत चिह्न होता है।

कंपन गति की ऊर्जा

एक दोलनशील पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा उसकी गतिज और स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है और घर्षण की अनुपस्थिति में स्थिर रहती है:

जिस समय विस्थापन अधिकतम x = A तक पहुंचता है, गति और उसके साथ गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है।

इस मामले में, कुल ऊर्जा संभावित ऊर्जा के बराबर है:

किसी दोलनशील पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा उसके दोलनों के आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है।

जब सिस्टम संतुलन स्थिति से गुजरता है, तो विस्थापन और संभावित ऊर्जा शून्य होती है: x = 0, E p = 0. इसलिए, कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा के बराबर है:

किसी दोलनशील पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा संतुलन स्थिति में उसकी गति के वर्ग के समानुपाती होती है। इस तरह:

गणितीय पेंडुलम

1. गणित पेंडुलमभारहीन अवितानीय धागे पर लटका हुआ एक भौतिक बिंदु है।

संतुलन स्थिति में, गुरुत्वाकर्षण बल की भरपाई धागे के तनाव से होती है। यदि पेंडुलम विक्षेपित और मुक्त हो जाता है, तो बल एक-दूसरे की क्षतिपूर्ति करना बंद कर देंगे, और परिणामी बल संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित होगा। न्यूटन का दूसरा नियम:

छोटे दोलनों के लिए, जब विस्थापन x, l से बहुत कम है, तो सामग्री बिंदु लगभग क्षैतिज x अक्ष के साथ घूमेगा। तब त्रिभुज MAB से हमें प्राप्त होता है:

क्योंकि पाप ए = एक्स/एल, तो x अक्ष पर परिणामी बल R का प्रक्षेपण बराबर है

ऋण चिन्ह दर्शाता है कि बल R हमेशा विस्थापन x के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है।

2. तो, एक गणितीय पेंडुलम के दोलन के दौरान, साथ ही एक स्प्रिंग पेंडुलम के दोलन के दौरान, पुनर्स्थापन बल विस्थापन के समानुपाती होता है और विपरीत दिशा में निर्देशित होता है।

आइए गणितीय और स्प्रिंग पेंडुलम की पुनर्स्थापन शक्ति के लिए अभिव्यक्तियों की तुलना करें:

यह देखा जा सकता है कि mg/l k का एक एनालॉग है। स्प्रिंग पेंडुलम की अवधि के सूत्र में k को mg/l से प्रतिस्थापित करना

हमें गणितीय पेंडुलम की अवधि के लिए सूत्र प्राप्त होता है:

गणितीय लोलक के छोटे दोलनों की अवधि आयाम पर निर्भर नहीं करती है।

गणितीय पेंडुलम का उपयोग समय को मापने और पृथ्वी की सतह पर किसी दिए गए स्थान पर गुरुत्वाकर्षण के त्वरण को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

विक्षेपण के छोटे कोणों पर गणितीय पेंडुलम के मुक्त दोलन हार्मोनिक होते हैं। वे गुरुत्वाकर्षण के परिणामी बल और धागे के तनाव बल के साथ-साथ भार की जड़ता के कारण घटित होते हैं। इन बलों का परिणाम पुनर्स्थापना बल है।

उदाहरण।उस ग्रह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण निर्धारित करें जहां 6.25 मीटर लंबे पेंडुलम की मुक्त दोलन अवधि 3.14 सेकेंड है।

गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि धागे की लंबाई और गुरुत्वाकर्षण के त्वरण पर निर्भर करती है:

समानता के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

उत्तर:गुरुत्वाकर्षण का त्वरण 25 m/s 2 है।

"विषय 4. "यांत्रिकी" विषय पर कार्य और परीक्षण। दोलन और लहरें।"

• अनुप्रस्थ एवं अनुदैर्ध्य तरंगें। वेवलेंथ

  पाठ: 3 कार्य: 9 परीक्षण: 1

• ध्वनि तरंगें। ध्वनि की गति - यांत्रिक कंपन और तरंगें। ध्वनि 9वीं कक्षा