«тригонометрия в реальной жизни» информационный проект. Применение тригонометрии в искусстве и архитектуре Сообщение на тему тригонометрия в медицине

Родикова Валерия, Типсин Эльдар

Первые математические знания появляются в глубокой древности (IV-III век до нашей эры) в Древней Греции. В XVII-XVIII веках происходит фундаментальное наполнение науки. Ученые разных стран в разные периоды развития цивилизации вносили свой вклад в становление современной математики. Область математики, изучающая тригонометрические функции, называется тригонометрией. Люди самых разных профессий используют элементы тригонометрии в своей работе. Это - исследователи в различных научных и прикладных областях, физики, конструкторы, специалисты по компьютерным технологиям, дизайнеры, авторы мультимедиа-презентаций, медики, специалисты в разных областях. В данном проекте исследовалось применение тригонометрии в архитектуре.

Скачать:

Предварительный просмотр:

https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Работу выполнили: Родикова Валерия, Типсин Эльдар, обучающиеся 10«А» класса МБОУ «Белоярская СОШ №1» Руководитель: Желнирович Н.В., учитель математики Тригонометрия в архитектуре 2013 г. Районная научно-исследовательская конференция обучающихся «Будущая элита Верхнекетья »

ТРИГОНОМЕТРИЯ – (от греч. trigwnon – треугольник и metrew – измеряю) –наука, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции.

Мы предположили, что тригонометрия применяется не только в началах анализа и алгебре, но и во многих других науках, например в архитектуре Гипотеза

Знакомство со сферами применения тригонометрии в архитектуре. Цели работы

Узнать, как тригонометрия применяется в архитектуре Исследовать применение тригонометрии в этой области задачи

Заха Хадид Заха Хадид (31 октября 1950, Багдад, Ирак) - британский архитектор арабского происхождения. Представительница деконструктивизма. В 2004 году стала первой в истории женщиной-архитектором, награждённой Притцкеровской премией. Деконструктиви́зм - направление в современной архитектуре. Для деконструктивистских проектов характерны визуальная усложнённость, неожиданные изломанные и нарочито деструктивные формы, а также подчёркнуто агрессивное вторжение в городскую среду.

мост Шейха Зайда в Абу- Даби,ОАЭ

Анто́ни Пла́сид Гильем Гауди́-и-Курне́т - испанский архитектор, большинство причудливо-фантастических работ которого возведено в Барселоне. Стиль, в котором творил Гауди, относят к модерну. Однако в своём творчестве он использовал элементы самых различных стилей, подвергая их переработке. Моде́рн - художественное направление в искусстве, е го отличительными особенностями является отказ от прямых линий и углов в пользу более естественных, «природных» линий.

Детская школа Гауди в Барселоне, испания

Поверхности Гауди k =1, a =1

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Сантьяго Калатрава Вальс - испанский архитектор и скульптор, автор многих футуристических построек в разных странах мира.

Винодельня « Бодегас Исиос » испания

КАНДЕ́ЛА Феликс (1910-1997), мексиканский архитектор и инженер. Создатель разнообразных железобетонных сводов-оболочек; разработал тонкостенные покрытия в форме гиперболических параболоидов.

Ресторан в Лос- Манантиалесе, аргентина [ a d cos (t) + d d t , b d sin (t), c d t + e d t 2 ]

Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне, Великобритания x = λ y = f (λ) cos θ z = f (λ) sin θ

Готическая архитектура Собор Парижской Богоматери 1163г. – середина XIV века.

Берлинские синусоиды, германия

РЕЗУЛЬТАТЫ Проект «Школы будущего»

: Мы выяснили, что тригонометрия применяется не только в алгебре и началах анализа, но и во многих других науках Тригонометрия является основой для создания многих шедевров искусства и архитектуры Научились видеть тригонометрию в постройке моделей зданий. Вывод

Спасибо за внимание!

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ГИМНАЗИЯ №1»

«ТРИГОНОМЕТРИЯ В РЕАЛЬНОЙ ЖИЗНИ»

информационный проект

Выполнил:

Краснов Егор

ученик 9А класса

Руководитель:

Бородкина Татьяна Ивановна

Железногорск

Введение………………………………………………………..……3

Актуальность………………………………………………….3

Цель……………………………………………………………4

Задачи………………………………………………………….4

1.4 Методы………………………………………………………...4

2.Тригонометрия и история её развития…...…………………………..5

2.1.Тригонометрия и этапы формирования….………………….5

2.2.Тригонометрия как термин. Характеристика……………….7

2.3.Возникновение синуса……………………….……………….7

2.4.Возникновение косинуса…………………….……………….8

2.5.Возникновение тангенса и котангенса……...……………….9

2.6 Дальнейшее развитие тригонометрии……...………………..9

3.Тригонометрия и реальная жизнь……………………..……………...12

3.1.Навигация……………………………..…………………….....12

3.2Алгебра….……………………………..…………………….....14

3.3.Физика….……………………………..…………………….....14

3.4.Медицина, биология и биоритмы.…..…………………….....15

3.5.Музыка…………………………….…..……………………....19

3.6.Информатика..…………………….…..……………………....21

3.7.Сфера строительства и геодезия.…………………………....22

3.8 Тригонометрия в искусстве и архитектуре………………..…....22

Заключение. ……………………………..…………………………..…..25

Список литературы.………………………….…………….……………27

Приложение 1 .…....………………………….…………….……………29

Введение

В современном мире значительное внимание уделяют математике, как одной из областей научной деятельности и изучения. Как мы знаем, одной из составляющих математики, является тригонометрия. Тригонометрия - это раздел математики, изучающий тригонометрические функции. Я считаю, что данная тема во первых, актуальна с практической точки зрения. Мы заканчиваем обучение в школе, и понимаем, что для многих профессий знание тригонометрии просто необходимо, т.к. позволяет измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Принципы тригонометрии, используются и в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Во вторых, актуальность темы «Тригонометрия в реальной жизни» заключается в том, что знания тригонометрии откроют новые способы решения различных задач во многих областях науки и упростят понимание некоторых аспектов различных наук.

Издавна установилась такая практика, при которой школьники сталкиваются с тригонометрией три раза. Таким образом, мы можем сказать, что тригонометрия состоит из трех частей. Данные части взаимосвязаны, и зависят от времени. При этом, они абсолютно различны, не имеют похожих черт как по смыслу, который закладывается при объяснении основных понятий, так и по функциям.

Первое знакомство возникает в 8 классе. Это период, когда школьники изучают: «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника». В процессе изучения тригонометрии даётся понятие косинус, синус и тангенс.

Следующим этапом является продолжение знакомства с тригонометрией в 9 классе. Уровень сложности повышается, изменяются способы и методы решения примеров. Теперь, на место косинусов и тангенсов приходит окружность и ее возможности.

Последним этапом является 10 класс, в котором тригонометрия становится более сложной, изменяются способы решения задач. Вводится понятие радианной меры угла. Вводятся графики тригонометрических функций. На данном этапе ученики начинают решать и изучать тригонометрические уравнения. Но ни как не геометрии. Для полного понимания тригонометрии необходимо познакомится с историей ее возникновения и развития. После знакомства с исторической справкой и изучения деятельности работ великих деятелей, математиков и ученых, мы можем понять, каким образом тригонометрия влияет на нашу жизнь, как помогает создавать новые объекты, делать открытия.

Целью моего проекта является изучение влияния тригонометрии в жизни человека и развитие интереса к ней. После решения данной цели мы сможем понять, какое место тригонометрия занимает в нашем мире, какие практические задачи решает.

Для решения поставленной цели, мы определили следующие задачи:

1. Познакомится с историей становления и развития тригонометрии;

2. Рассмотреть примеры практического влияния тригонометрии в разных сферах деятельности;

3. Показать на примерах, возможности тригонометрии и ее применения в жизни человека.

Методы: Поиск и сбор информации.

1.Тригонометрия и история её развития

Что такое тригонометрия? Данный термин подразумевает под собой раздел в математике, который занимается изучением зависимости между различными величинами углов, изучает длины сторон треугольника и алгебраические тождества тригонометрических функций. Трудно представить, что данная область математики встречается нам в повседневной жизни.

1.1.Тригонометрия и этапы её формирования

Давайте обратимся к истории ее развития, этапам формирования. С древних времен тригонометрия набирала свои зачатки, развивалась и показывала первые результаты. Самые первые сведения о появлении и развитии данной области мы можем увидеть в рукописях, которые находятся в древнем Египте, Вавилоне, Древнем Китае. Изучив 56-ю задачу из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.), можно увидеть, что она предлагает найти наклон пирамиды, чья высота является высотой в 250 локтя. Длина стороны основания пирамиды равняется 360 локтям (рис.1). Любопытно, что египтяне в решении этой задачи использовали одновременно две системы измерения - «локти» и «ладони». Сегодня при решении этой задачи мы нашли бы тангенс угла: зная половину основания и апофему (рис.1).

Следующим шагом стал этап развития науки, который связан с астрономом Аристархом Самосскогим, проживавшим в III веке до н. э. Трактат, рассматривающий величины и расстояние Солнца и Луны, ставил перед собой определенную задачу. Она выражалась в необходимости определения расстояния до каждого небесного тела. Для того, чтобы произвести такие вычисления, требовалось посчитать отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры. Для вычисления величины гипотенузы, которая выступала за основу расстояния от Земли до Солнца, используя катет, выступающий за основу расстояния от Земли до Луны, при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения sin угла 3 . По оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18. Это говорит о том, что расстояние от Солнца до Земли в двадцать раз больше, чем от луны до Земли. Однако, мы знаем, что Солнце в 400 раз дальше, чем местоположение Луны. Ошибочное суждение возникло из-за неточности в измерении угла.

Несколько десятилетий спустя Клавдий Птоломей в собственных работах «Этногеография», «Аналемма» и «Планисферий» предоставляет детальное изложение тригонометрических дополнений к картографии, астрономии и механике. Из числа прочего, изображена стереографическая проекция, изучены ряд фактических вопросов, к примеру: установить высоту и угол небесного светила согласно его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это означает, что необходимо отыскать сторону сферического треугольника согласно другим 2 граням и противолежащему углу (рис.2)

В совокупности, можно отметить, что тригонометрия применялась с целью:

Четкого установления времени суток;

Вычисления предстоящего местоположения небесных светил, эпизодов их восхода и захода, затмений Солнца и Луны;

Нахождения географических координат текущего места;

Подсчета дистанции между мегаполисами с известными географическими координатами.

Гномон- древний астрономический механизм, вертикальный предмет (стела, колонна, шест), который позволяет с помощью наименьшей длины его тени в полдень определить угловую высоту солнца (рис.3).

Таким образом, котангенс представлялся нам как длина тени от вертикального гномона высотой 12 (иногда 7) единиц. Отметим, что в первоначальном варианте, данные определения использовались для расчёта солнечных часов. Тангенс представлялся тенью падающей от горизонтального гномона. Косеканс и секанс понимаются в качестве гипотенуз, которые соответствуют прямоугольным треугольникам.

1.2.Тригонометрия как термин. Характеристика

Впервые, конкретный термин «тригонометрия» встречается в 1505 г. Он был опубликован и использован в книге немецкого теолога и математика Бартоломеуса Питискуса. В то время, как наука уже использовалась для решения астрономических, архитектурных проблем.

Термин тригонометрия характеризуется греческими корнями. И состоит из двух частей: «треугольник» и «мера». Изучая перевод, мы можем сказать, что перед нами наука, изучающая изменения треугольников. Появление тригонометрии сопряжено с землемерением, астрономией и строительным процессом. Хотя название появилось относительно не так давно, многие относимые в настоящее время к тригонометрии определения и данные были известны ранее 2000 года.

1.3. Возникновение синуса

Длительную историю имеет представление синуса. По сути разнообразные взаимоотношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются ранее в 3 в. до н.э. в трудах знаменитых математиков Античной Греции - Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский промежуток времени данные взаимоотношения уже довольно регулярно изучались Менелаем (I в. н. э.), хотя и не получили особого названия. Современный синус угла α, например, изучается как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной α, или как хорда удвоенной дуги.

В последующий промежуток математика длительное время наиболее стремительно формировалась индийскими и арабскими учёными. В 4-5 веках возник, в частности, ранее особый термин в трудах по астрономии знаменитого индийского учёного Ариабхаты (476-ок. 550), именем коего назван первый индусский спутник Земли. Отрезок он назвал ардхаджива (ардха-половина, джива-тетива излом, которую напоминает ось). Позже привилось более сокращенное наименование джива. Арабскими математиками в IXв. термин джива (либо джиба) было заменено на арабское слово джайб (вогнутость). При переходе арабских математических текстов в XIIв. это слово было заменено латинскимсинус (sinus-изгиб) (рис.4).

1.4. Возникновение косинуса

Определение и возникновение термина «косинус» носит более кратковременный и недалекий характер. Под косинусом понимается «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cosα= sin(90° - a)). Интересным фактом является то, что первые способы решения треугольников, которые основаны на зависимости между сторонами и углами треугольника, найденные астрономом из Древней Греции Гиппархом во втором веке до нашей эры. Данным изучением также занимался Клавдий Птолемей. Постепенно, появлялись новые факты о зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами, начали применять новое определение - тригонометрическая функция.

Существенный вклад в формирование тригонометрии привнесли арабские эксперты Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который собрал таблицы синусов и тангенсов посредством 10’ с правильностью вплоть до 1/604. Теорему синусов ранее знали индийский профессор Бхаскара (р. 1114, год смерти безызвестен) и азербайджанский астролог и ученый Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Помимо этого, Насиреддин Туси в собственной работе «Труд о полном четырехстороннике» рассказал прямую и сферическую тригонометрию как независимую дисциплину (рис.4).

1.5. Возникновение тангенса и котангенса

Тангенсы возникли в взаимосвязи с заключением задачи об установлении длины тени. Тангенс (а кроме того котангенс) установлен в X веке аравийским арифметиком Абу-ль-Вафой, который составил и первоначальные таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Но данные открытия длительное время сохранились незнакомыми европейским ученым, и тангенсы были вновь открыты только в XIV веке германским арифметиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он аргументировал теорему тангенсов. Региомонтан составил также детальные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Обозначение «тангенс», происходившее от латинского tanger (касаться), возникло в 1583 г. Tangens переводится как «затрагивающий» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).
Дальнейшее формирование тригонометрия получила в работах выдающихся астрологов Николая Коперника (1473-1543) , Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а кроме того в трудах математика Франсуа Виета (1540-1603), который целиком решил проблему в определении абсолютно всех компонентов плоского либо сферического треугольника по трем данным (рис.4).

1.6 Дальнейшее развитие тригонометрии

Долгое время тригонометрия носила исключительно геометрический вид, т. е. данные, которые мы в настоящее время формулируем в определениях тригонометрических функций, формулировались и аргументировались с поддержкой геометрических понятий и утверждений. Такою, она существовала ещё в средние столетия, хотя иногда в ней применялись и аналитические способы, в особенности после возникновения логарифмов. Пожалуй, максимальные стимулы к формированию тригонометрии появлялись в взаимосвязи с решением задач астрономии, что давало огромный положительный интерес (например, с целью решения вопросов установления месторасположения корабля, прогноза затемнения и т. д.). Астрологов занимали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. А арифметики древности успешно справлялись с поставленными вопросами.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции стали применять к решению уравнений, вопросов механики, оптики, электричества, радиотехники, с целью отображения колебательных действий, распространения волн, перемещения разных элементов, для исследования переменного гальванического тока и т. д. По этой причине тригонометрические функции всесторонне и глубоко изучались, и получили существенное значение для целой математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще,

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греческого gwnia - угол, metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.

2. Тригонометрия и реальная жизнь

Современное общество характеризуется постоянными изменениями, открытиями, созданием высокотехнологичных изобретений, улучшающих нашу жизнь. Тригонометрия встречается и взаимодействует с физикой, биологией, математикой, медициной, геофизикой, навигацией, информатикой.

Познакомимся по порядку с взаимодействием в каждой отрасли.

2.1.Навигация

Первым пунктом, объясняющим нам применение и пользу тригонометрии, выступает ее связь с навигацией. Под навигацией мы понимаем науку, целью которой является изучение и создание наиболее удобных и полезных способов навигации. Так, ученые разрабатывают несложные навигации, представляющие собой построение маршрута из одной точки в другую, его оценка и выбор лучшего варианта из всех предложенных. Данные маршруты необходимы мореплавателям, которые в течение своего путешествия сталкиваются с множеством трудностей, преград, вопросов по курсу движения. Также навигация необходима: летчикам, которые управляют сложными высокотехничными самолетами, ориентируются, порой в очень экстремальных ситуациях; космонавтам, чья работа связана с риском для жизни, с сложным построением маршрута и его освоением. Изучим более подробно следующие понятия и задачи. В качестве задачи можно представить следующее условие: мы знаем географические координаты: широту и долготу между пунктами А и В земной поверхности. Необходимо найти наиболее короткий путь между пунктами А и В вдоль земной поверхности (радиус Земли считается известным: R = 6371 км).

Мы можем также представить решение данной проблемы, а именно: вначале мы уточняем, что широтой пункта М земной поверхности называется величина угла, образованного радиусом ОМ, где О – центр Земли, с плоскостью экватора: ≤ , причем севру от экватора широта считается положительной, а к югу – отрицательной. За долготу пункта М мы возьмем величину двугранного угла, проходящего в плоскостях СОМ и СОН. Под С мы понимаем Северный полюс Земли. В качестве Н мы понимаем точку, отвечающую гринвичской обсерватории: ≤ (к востоку от гринвичского меридиана долгота считается положительной, к западу – отрицательной). Как мы уже знаем, самым коротким расстоянием между пунктами А и В земной поверхности представляется длиной наименьшей из дуг большой окружности, которая соединяет А и В. Данный вид дуги мы можем назвать ортодромией. Переводя с греческого, данный термин понимается прямым углом. Из-за этого нашей задачей является определением длины стороны АВ сферического треугольника АВС, где под С понимается северный полис.

Интересным примером можно описать следующее. При создании маршрута мореходцами, необходимо точная и кропотливая работа. Так, для прокладки курса корабля на карте, которая была выполнена в проекции Герхарда Меркатора в 1569году, была острая необходимость определить, широту. Однако при выходе в море, в локациях до XVII века мореплавателями широта не указывалась. Впервые применил тригонометрические расчеты в навигации Эдмонд Гюнтер(1623).

С ее помощью тригонометрии, пилоты могли рассчитывать ветряные погрешности, для наиболее точного и безопасного ведения самолета. Для того, чтобы осуществить данные вычисления, мы обращаемся к треугольнику скоростей. Данным треугольником выражаются образованный воздушной скорости (V), вектор ветра(W), вектор путевой скорости (Vп). ПУ – путевой угол, УВ – угол ветра, КУВ – курсовой угол ветра (рис. 5) .

Чтобы ознакомиться с видом зависимости между элементами навигационного треугольника скоростей, необходимо взглянуть ниже:

Vп =V cos УС + W cos УВ; sin УС = * sin УВ, tg УВ

Для решения навигационного треугольника скоростей используются счетные устройства, использующие навигационную линейку и подсчеты в уме.

2.2.Алгебра

Следующей областью взаимодействия тригонометрии является алгебра. Именно благодаря тригонометрическим функциям решаются очень сложные, требующие больших вычислений уравнения и задачи.

Как мы знаем, во всех случаях, где необходимо взаимодействовать с периодическими процессами и колебаниями мы приходим к использованию тригонометрических функций. При этом не имеет значения, что это такое: акустика, оптика или качание маятника.

2.3.Физика

Кроме навигации и алгебры, тригонометрия оказывает прямое влияние и воздействие в физике. При погружении объектов в воду они никак не изменяют ни формы, ни объемов. Полный секрет - зрительный эффект который вынуждает наше зрение принимать предмет по-другому. Простые тригонометрические формулы и значения синуса угла падения и преломления полупрямой предоставляют вероятность высчитать постоянный показатель преломления при переходе светового луча из сферы в сферу. К примеру, радуга появляется из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:

sin α / sin β = n1 / n2

где: n1 является показателем преломления первой среды; n2 является показателем преломления второй среды; α-углом падения, β-углом преломления света.

Попадание в верхние слои атмосферы планет заряженных элементов солнечного ветра обусловливается взаимодействием магнитного поля земли с солнечным ветром.

Сила, действующая на перемещающуюся в магнитном область заряженную частичку, именуется силой Лоренца. Она соразмерна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости перемещения частицы.

Раскрывая практические стороны применения тригонометрии в физике, приведем пример. Данная задача должна решаться с использованием тригонометрических формул и способов решения. Условия задачи: на наклонной плоскости, угол которой 24,5о, располагается тело массой 90 кг. Необходимо найти, какой силой располагает тело, давящее на на наклонную плоскость (т.е какое давление оказывает тело на эту плоскость) (рис.6).

Обозначив оси Х и У, начнем строить проекции сил на оси, для начала воспользовавшись данной формулой:

ma = N + mg, затем смотрим на рисунок,

Х: ma = 0 + mg sin24,50

Y: 0 = N – mg cos24,50

подставляем массу, находим, что сила равна 819 Н.

Ответ: 819 Н

2.4.Медицина, биология и биоритмы

Четвертой областью, где серьезное влияние и помощь оказывает тригонометрия, являются сразу две области: медицина и биология.

Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов. Между движением небесных тел и живыми организмами на Земле существует связь. Живые организмы не только улавливают свет и тепло Солнца и Луны, но и обладают различными механизмами, точно определяющими положение Солнца, реагирующими на ритм приливов, фазы Луны и движение нашей планеты.

Биологические ритмы, биоритмы, - это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов. Способность к таким изменениям жизнедеятельности передается по наследству и обнаружена практически у всех живых организмов. Их можно наблюдать в отдельных клетках, тканях и органах, целых организмах и популяциях. Биоритмы подразделяют на физиологические , имеющие периоды от долей секунды до нескольких минут и экологические, по длительности совпадающие с каким либо ритмом окружающей среды. К ним относят суточные, сезонные, годовые, приливные и лунные ритмы. Основной земной ритм – суточный, обусловлен вращением Земли вокруг своей оси, поэтому практически все процессы в живом организме обладают суточной периодичностью.

Множество экологических факторов на нашей планете, в первую очередь световой режим, температура, давление и влажность воздуха, атмосферное и электромагнитное поле, морские приливы и отливы, под влиянием этого вращения закономерно изменяются.

Мы на семьдесят пять процентов состоим из воды, и если в момент полнолуния воды мирового океана поднимаются на 19 метров над уровнем моря и начинается прилив, то вода, находящаяся в нашем организме так же устремляется в верхние отделы нашего тела. И у людей с повышенным давлением часто наблюдаются обострения болезни в эти периоды, а натуралисты, собирающие лекарственные травы, точно знают в какую фазу луны собирать «вершки – (плоды)», а в какую – «корешки».

Вы замечали, что в определенные периоды ваша жизнь делает необъяснимые скачки? Вдруг откуда не возьмись - бьют через край эмоции. Повышается чувствительность, которая внезапно может смениться полной апатией. Творческие и бесплодные дни, счастливые и несчастные моменты, резкие скачки настроения. Подмечено, что возможности человеческого организма меняются периодически. Эти знания лежат в основе «теории трех биоритмов».

Физический биоритм – регулирует физическую активность. В течение первой половины физического цикла человек энергичен, и достигает лучших результатов в своей деятельности (вторая половина – энергичность уступает лености).

Эмоциональный ритм – в периоды его активности повышается чувствительность, улучшается настроение. Человек становится возбудимым к различным внешним катаклизмам. Если у него хорошее настроение, он строит воздушные замки, мечтает влюбиться и влюбляется. При снижении эмоционального биоритма происходит упадок душевных сил, пропадает желание, радостное настроение.

Интеллектуальный биоритм - он распоряжается памятью, способностью к обучению, логическому мышлению. В фазе активности наблюдается подъем, а во второй фазе спад творческой активности, отсутствуют удача и успех.

Теория трех ритмов:

· Физический цикл -23 дня. Определяет энергию, силу, выносливость, координацию движения

· Эмоциональный цикл - 28 дней. Состояние нервной системы и настроение

· Интеллектуальный цикл - 33 дня. Определяет творческую способность личности

Тригонометрия встречается и в природе. Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

Тригонометрия в медицине. В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.

Формула, получившая название тегеранской, была представлена широкой научной общественности на 14-й конференции географической медицины и затем - на 28-й конференции по вопросам применения компьютерной техники в кардиологии, состоявшейся в Нидерландах.

Эта формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.

Многим людям приходится делать кардиограмму сердца, но немногие знают, что кардиограмма человеческого сердца – график синуса или косинуса.

Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов. Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Такой вывод был сделан после серии экспериментов, участникам которых предлагалось взглянуть на окружающий мир через призмы, увеличивающие этот угол.

Такое искажение приводило к тому, что подопытные носители призм воспринимали удаленные объекты как более близкие и не могли справиться с простейшими тестами. Некоторые из участников экспериментов даже наклонялись вперед, стремясь выровнять свое тело перпендикулярно неправильно представляемой поверхности земли. Однако по происшествии 20 минут они привыкли к искаженному восприятию, и все проблемы исчезли. Это обстоятельство указывает на гибкость механизма, с помощью которого мозг приспосабливает зрительную систему к меняющимся внешним условиям. Интересно заметить, что после того, как призмы были сняты, некоторое время наблюдался обратный эффект - переоценка расстояния.

Результаты нового исследования, как можно предположить, окажутся небезынтересны инженерам, конструирующим системы навигации для роботов, а также специалистам, которые работают над созданием максимально реалистичных виртуальных моделей. Возможны и приложения в области медицины, при реабилитации пациентов с повреждениями определенных областей мозга.

2.5.Музыка

Музыкальная сфера деятельности также взаимодействует с тригонометрией.

Представляю вашему вниманию интересную информацию о неком методе,который точно обеспечивает связь между тригонометрией и музыкой.

Этот метод анализа музыкальных произведений получил название «геометрическая теория музыки». С его помощью основные музыкальные структуры и преобразования переводятся на язык современной геометрии.

Каждая нота в рамках новой теории представляется как логарифм частоты соответствующего звука (нота «до» первой октавы, к примеру, соответствует числу 60, октава – числу 12). Аккорд, таким образом, представляется как точка с заданными координатами в геометрическом пространстве. Аккорды сгруппированы в различные «семейства», которые соответствуют различным типам геометрических пространств.

При разработке нового метода авторы использовали 5 известных типов музыкальных преобразований, которые ранее не учитывались в теории музыки при классификации звуковых последовательностей – октавная перестановка (O), пермутация (P), транспозиция (T), инверсия (I) и изменение кардинальности (C). Все эти преобразования, как пишут авторы, формируют так называемые OPTIC-симметрии в n-мерном пространстве и хранят музыкальную информацию об аккорде – в какой октаве находятся его ноты, в какой последовательности они воспроизведены, сколько раз повторяются и проч. С помощью OPTIC-симметрий классифицируются подобные, но не идентичные аккорды и их последовательности.

Авторы статьи показывают, что различные комбинации этих 5-ти симметрий формируют множество различных музыкальных структур, одни из которых уже известны в теории музыки (последовательность аккордов, к примеру, будет выражаться в новых терминах как OPC), а другие являются принципиально новыми понятиями, которые, возможно, возьмут на вооружение композиторы будущего.

В качестве примера авторами приводится геометрическое представление различных типов аккордов из четырех звуков – тетраэдр. Сферы на графике представляют типы аккордов, цвета сфер соответствуют величине интервалов между звуками аккорда: синий – малые интервалы, более теплые тона – более «разреженные» звуки аккорда. Красная сфера – наиболее гармоничный аккорд с равными интервалами между нотами, который был популярен у композиторов XIX века.

«Геометрический» метод анализа музыки, по мнению авторов исследования, может привести к созданию принципиально новых музыкальных инструментов и новых способов визуализации музыки, а также внести изменения в современные методики преподавания музыки и способы изучения различных музыкальных стилей (классики, поп-музыки, рок-музыки и проч.). Новая терминология также поможет более углубленно сравнивать музыкальные произведения композиторов разных эпох и представлять результаты исследований в более удобной математической форме. Иными словами, предлагается выделить из музыкальных произведений их математическую суть.

Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8… Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

Диатоническая гамма 2:3:5 (Рис.8).

2.6.Информатика

Не обошла тригонометрия со своим влиянием и информатику. Так, ее функции применимы для точных расчётов. Благодаря данному моменту, мы можем приблизить любую (в некотором смысле "хорошую") функцию, разложив её в ряд Фурье:

a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + a3 cos 3x + b3 sin 3x + ...

Процесс подбора числа наиболее подходящим образом числа a0, a1, b1, a2, b2, ..., можно в виде такой (бесконечной) суммы представлять почти любые функции в компьютере с требуемой точностью.

Тригонометрия оказывает серьезную роль и помощь в развитии и в процессе работы с графической информацией. Если нужно смоделировать процесс, с описанием в электронном виде, с вращение определенного объекта вокруг некоторой оси. Возникает поворот на некоторый угол. Для определения координат точек придётся умножать на синусы и косинусы.

Так, можно привести в пример Джастина Уиндела, программиста и дизайнера, работающего в Google Grafika Lab. Он опубликовал демо, которое показывает пример использования тригонометрических функций, чтобы создать динамическую анимацию.

2.7.Сфера строительства и геодезии

Интересной отраслью, взаимодействующей с тригонометрией является область строительства и геодезии. Длины сторон и величины углов произвольного треугольника на плоскости связаны между собой определенными соотношениями, важнейшие из которых называют теоремами косинусов и синусов. Формулы, содержащие в себе а, b, c, подразумевают, что буквы представляются сторонами треугольника, которые лежат соответственно против углов А, В, С. Эти формулы позволяют по трем элементам треугольника – длинам сторон и углам – восстановить остальные три элемента. Они применяются при решении практических задач, например в геодезии.

Вся "классическая" геодезия сформирована на тригонометрии. Так как фактически с древнейших времен геодезисты увлекаются тем, что "решают" треугольники.

Процесс возведения строений, путей, мостов и иных зданий наступает с изыскательских и проектных работ. Все без исключения измерения на стройке ведутся с поддержкой геодезических приборов, таких как тахеометр и тригонометрический нивелир. При тригонометрическом нивелировании устанавливают разность высот между несколькими точками земной поверхности.

2.8 Тригонометрия в искусстве и архитектуре

С того времени как человек стал существовать на земле, основой улучшения быта и других сфер жизни стала наука. Основы всего, что создано человеком – это различные направления в естественных и математических науках. Одна из них – геометрия. Архитектура не единственная сфера науки, в которой используются тригонометрические формулы. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Рассмотрим пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы, тем самым найдем точку зрения (рис.9).

На рисунке 10 ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту АС и НС увеличиваются, можно рассчитать значения косинуса угла С, по таблице найдем угол падения взгляда. В процессе можно рассчитать АН, а также синус угла С, что позволит проверить результаты с помощью основного тригонометрического тождества cos 2 a+ sin 2 a = 1.

Сравнив измерения АН в первом и во втором случаи можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу

Культовые здания во всем мире были спроектированы благодаря математике, которая может считаться гением архитектуры. Некоторые известные примеры таких зданий:Детская школа Гауди в Барселоне, Небоскрёб Мэри-Экс в Лондоне, Винодельня «Бодегас Исиос» в Испании,Ресторан в Лос-Манантиалесе в Аргентине. При проектировании этих зданий не обошлось без тригонометрии.

Заключение

Изучив теоретические и прикладные аспекты тригонометрии, я осознал, что данная отрасль тесно связана со многими науками. В самом начале, тригонометрия была необходима для создания и проведения измерений между углами. Однако в последствии простое измерение углов переросло в полноценную науку, изучающую тригонометрические функции. Мы можем обозначить следующие области, в которых происходит тесная связь тригонометрии и физики архитектуры, природы, медицины, биологии.

Так, благодаря тригонометрическим функциям в медицине была открыта формула сердца, представляющая собой - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, которое состоит из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включающих возможность дополнительных просчетов при возникновении аритмии. Данное открытие помогает врачам выполнять более квалифицированно и качественно медицинскую помощь.

Отметим также. что вся классическая геодезия основана на тригонометрии. Поскольку фактически с древних времён геодезисты занимаются тем, что "решают" треугольники. Процесс строительства зданий, дорог, мостов и других сооружений начинается с изыскательских и проектных работ. Все измерения на стройке проводятся с помощью геодезических инструментов, таких как теодолит и тригонометрический нивелир. При тригонометрическом нивелировании определяют разность высот между несколькими точками земной поверхности.

Знакомясь с ее влиянием в других областях, мы можем сделать вывод о том, что тригонометрия активно влияет на жизнедеятельность человека. Связь математики с окружающим миром позволяет «материализовать» знания школьников. Благодаря этому, мы можем адекватнее воспринять и усвоить знания и информацию, которую нам преподают в школе.

Цель моего проекта выполнена успешна. Мной было изучено влияние тригонометрии в жизни и развитие интереса к ней.

Для решения поставленной цели, мы выполнили следующие задачи:

1. Познакомились с историей становления и развития тригонометрии;

2. Рассмотрели примеры практического влияния тригонометрии в разных сферах деятельности;

3. Показали на примерах, возможности тригонометрии и ее применения в жизни человека.

Изучение истории возникновения данной отрасли поможет вызвать интерес у школьников, сформировать верное мировоззрение и повысить общую культуру старшеклассника.

Данная работа будет полезна для учащихся старших классов, которые ещё не увидели всю красоту тригонометрии и не знакомы с областями её применения в окружающей жизни.

Список литературы

Глейзер Г.И.

Глейзер Г.И.

Рыбников К.А.

Список литературы

А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2013.

Глейзер Г.И. История математики в школе: VII-VIII кл. - М.: Просвещение, 2012.

Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. - М.: Просвещение, 2013.

Рыбников К.А. История математики: Учебник. - М.: Изд-во МГУ, 1994. Олехник Задачи по алгебре, тригонометриии и элементарным функциям / Олехник, С.Н. и. - М.: Высшая школа, 2016. - 134 c.

Олехник, С.Н. Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарным функциям / С.Н. Олехник. - М.: Высшая школа, 2013. - 645 c.

Потапов, М.К. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции / М.К. Потапов. - М.: Высшая школа, 2014. - 586 c.

Потапов, М.К. Алгебра. Тригонометрия и элементарные функции / М.К. Потапов, В.В. Александров, П.И. Пасиченко. - М.: [не указано], 2015. - 762 c.

Приложение 1

Рис.1 Изображение пирамиды. Вычисление наклона b / h .

Другие разделы

Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505 г.) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова греческое: xpiyrovov - треугольник, цетресо - мера. Иными словами, тригонометрия - наука об измерении треугольников. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назад.

Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III в. до н. э. в работах великих математиков Древней Греции - Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (1в. н.э.), хотя и не приобрели специального названия.

В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учеными. В IV-V вв. появился, в частности, уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского ученого Ариабхаты (476 - ок. 550), именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок он назвал ардхаджива .

Позднее привилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX в. слово джива (или джиба) было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XII в. это слово было заменено латинским синус (sinus - изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус - это сокращение латинского выражения complementy sinus, т. е. «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cos а = sin (90° - а)).

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс, секанс и косеканс) введен в X в. арабским математиком Абул-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XIV в. сначала английским ученым Т. Бравердином, а позднее немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г.). 

Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов - это касательная к единичной окружности).

Современные обозначения arcsin и arctg появляются в 1772 г. в работах венского математика Шерфера и известного французского ученого Лагранжа, хотя несколько ранее их уже рассматривал Я. Бернулли, который употреблял иную символику. Но общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «арк» происходит от латинского arcus (лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin х, например, - это угол (а можно сказать, и дуга), синус которого равен х.

Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии . Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затмений и т. д.).

Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников, составленных из больших кругов, лежащих на сфере.

Во всяком случае в геометрической форме многие формулы тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими, индийскими, арабскими математиками. (Правда, формулы разности тригонометрических функций стали известны только в XVII в.- их вывел английский математик Непер для упрощения вычислений с тригонометрическими функциями. А первый рисунок синусоиды появился в 1634 г.)

Принципиальное значение имело составление К. Птолемеем первой таблицы синусов (долгое время она называлась таблицей хорд): появилось практическое средство решения ряда прикладных задач, и в первую очередь задач астрономии.

Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик XVIII столетия Л . Эйлер (1707-1783), швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. Все это малая доля того, что за долгую жизнь Эйлер успел сделать в математике: он оставил свыше 800 работ, доказал многие ставшие классическими теоремы, относящиеся к самым разным областям математики. (Несмотря на то что в 1776 г. Эйлер потерял зрение, он до последних дней продолжал диктовать все новые и новые работы.)

После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще.

Область применения тригонометрии охватывает самые разные сферы математики, некоторые разделы естествознания и техники.

Тригонометрия имеет несколько разновидностей:

Сферическая тригонометрия занимается изучением сферических треугольников.


Прямолинейная или плоская тригонометрия изучает обычнее треугольники.

Значительно развили тригонометрию древнегреческие и эллинистические ученые. Однако в работах Евклида и Архимеда тригонометрия представлена в геометрическом виде. Теоремы о длине хорд применяются в законах синусов. А теорема Архимеда для деления хорд соответствует формулам для синусов суммы и разности углов.

В настоящее время математики используют новую запись известных теорем, например, sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, тем самым, компенсируют недостатки таблиц хорд, времен Аристарха Самосского.

Предположительно первые тригонометрические таблицы были составлены Гиппархом Никейским , которого по праву считают «отцом тригонометрии». Ему принадлежит заслуга в создании сводной таблицы величин дуг и хорд для серии углов. Более того именно Гиппарх Никейский впервые стал использовать 360° окружности.

Клавдий Птолемей значительно развил и расширил учение Гиппарха. Теорема Птолемея гласит: сумма произведений противоположных сторон циклического четырехугольника равна произведению диагоналей. Следствием теоремы Птолемея стало понимание эквивалентности четырех формул суммы и разности для синуса и косинуса. Кроме того, Птолемей вывел формулу половинного угла. Все свои результаты Птолемей использовал при составлении тригонометрических таблиц. К сожалению, ни одной подлинной тригонометрической таблицы Гиппарха и Птолемея не сохранилось до наших дней.

Тригонометрические вычисления нашли свое применение почти во всех областях геометрии, физики и инженерного дела.
С помощью тригонометрии (техника триангуляции) можно измерять расстояния между звездами, между ориентирами в географии, производить контроль над системами навигации спутников.

Тригонометрия успешно применяется в технике навигации, теории музыки, акустике, оптике, при анализе финансовых рынков, электронике, теории вероятности, статистике, биологии и медицине, химии и теории чисел (криптографии), сейсмологии, метеорологии, океанологии, картографии, топографии и геодезии, архитектуре и фонетике, машиностроении и компьютерной график е .

ТРИГОНОМЕТРИЯ –(от греч. trigwnon – треугольник и metrew – измеряю) – математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции.

Термин «тригонометрия» ввел в употребление в 1595 немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, автор учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц. К концу 16 в. большинство тригонометрических функций было уже известно, хотя само это понятия еще не существовало.

В тригонометрии выделяют три вида соотношений: 1) между самими тригонометрическими функциями; 2) между элементами плоского треугольника (тригонометрия на плоскости); 3) между элементами сферического треугольника, т.е. фигуры, высекаемой на сфере тремя плоскостями, проходящими через ее центр. Тригонометрия началась именно с наиболее сложной, сферической части. Она возникла прежде всего из практических нужд. Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников. По звездам вычисляли местонахождение корабля в море или направление движения каравана в пустыне. Наблюдения за звездным небом с незапамятных времен вели и астрологи.

Естественно, все измерения, связанные с расположением светил на небосводе, – измерения косвенные. Прямые могли быть проведены только на поверхности Земли, но и здесь далеко не всегда удавалось непосредственно определить расстояние между какими-то пунктами и тогда вновь прибегали к косвенным измерениям. Например, вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от какого-нибудь шеста, высота которого была известна. Аналогичным образом вычисляли и размеры острова в море. Подобные задачи сводятся к анализу треугольника, в котором одни его элементы выражают через другие. Этим и занимается тригонометрия. А поскольку звезды и планеты представлялись древним точками на небесной сфере, то сначала стала развиваться именно сферическая тригонометрия. Ее считали разделом астрономии.

А начиналось все очень давно. Первые отрывочные сведения по тригонометрии сохранились на клинописных табличках Древнего Вавилона. Астрономы Междуречья научились предсказывать положение Земли и Солнца и именно от них к нам пришла система измерения углов в градусах, минутах и секундах, потому что у вавилонян была принята шестидесятеричная система счисления .

Однако первые по-настоящему важные достижения принадлежат древнегреческим ученым. Например, 12-я и 13-я теоремы второй книги Начал Евклида (конец 4–3 в. до н. э.) выражают по существу теорему косинусов. Во 2 в. до н.э. астроном Гиппарх из Никеи (180–125 до н.э.) составил таблицу для определения соотношений между элементами треугольников. Такие таблицы нужны потому, что значения тригонометрических функций нельзя вычислить по аргументам с помощью арифметических операций. Тригонометрические функции приходилось рассчитывать заранее и хранить в виде таблиц. Гиппарх подсчитал в круге заданного радиуса длины хорд, отвечающих всем углам от 0 до 180°, кратным 7,5°. По существу, это таблица синусов. Труды Гиппарха до нас не дошли, но многие сведения из них включены в Альмагест (II в.) – знаменитое сочинение в 13 книгах греческого астронома и математика Клавдия Птолемея (ум. ок.160 н. э.). Древние греки не знали синусов, косинусов и тангенсов, вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволявшие находить хорду окружности по стягиваемой дуге. В Альмагесте автор приводит таблицу длин хорд окружности радиуса в 60 единиц, вычисленных с шагом 0,5° с точностью до 1/3600 единицы, и объясняет, как эта таблица составлялась. Труд Птолемея несколько веков служил введением в тригонометрию для астрономов.

Чтобы понять, как ученые древности составляли тригонометрические таблицы, надо познакомиться с методом Птолемея. Метод основан на теореме – произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Пусть ABCD – вписанный четырехугольник, АD – диаметр окружности, а точка O – ее центр (рис. 1). Если известно, как вычислять хорды, стягивающие углы DOC = a и DОВ = b, т. е. сторону СD и диагональ B, то, по теореме Пифагора , из прямоугольных треугольников АDВ и АDС можно найти АВ и АС, а потом, по теореме Птолемея, – BC = (АС ·ВD – АВ ·СD ) /АD , т.е. хорду, стягивающую угол ВОС = b – a. Некоторые хорды, например стороны квадрата, правильных шестиугольника и восьмиугольника, отвечающие углам 90, 60 и 45°, легко определить. Известна также сторона правильного пятиугольника, которая стягивает дугу в 72°. Приведенное выше правило позволяет вычислять хорды для разностей этих углов, например для 12° = 72° – 60°. Кроме того, можно находить хорды половинных углов, однако этого недостаточно, чтобы рассчитать, чему равна хорда дуги в 1°, – хотя бы потому, что все названные углы кратны 3°. Для хорды 1° Птолемей нашел оценку, показав, что она больше 2/3 хорды (3/2)° и меньше 4/3 хорды (3/4)° – двух чисел, совпадающих с достаточной для его таблиц точностью.

Если греки по углам вычисляли хорды, то индийские астрономы в сочинениях 4–5 вв. перешли к полухордам двойной дуги, т.е. в точности к линиям синуса (рис. 2). Они пользовались и линиями косинуса – вернее, не его самого, а «обращенного» синуса, получившего позднее в Европе название «синус-верзус», сейчас эта функция, равная 1 – cos a, уже не употребляется. Впоследствии тот же подход привел к определению тригонометрических функций через отношения сторон прямоугольного треугольника.

За единицу измерения отрезков MP , OP , PA принималась дуговая минута. Так, линия синуса дуги AB = 90° есть OB – радиус окружности; дуга AL , равная радиусу, содержит (округленно) 57°18" = 3438".

Дошедшие до нас индийские таблицы синусов (древнейшая составлена в 4–5 веке н.э.) не столь точны, как птолемеевы; они составлены через 3°45" (т.е. через 1/24 часть дуги квадранта).

Термины «синус» и «косинус» пришли от индийцев, не обошлось и без любопытного недоразумения. Полухорду индийцы называли «ардхаджива» (в переводе с санскрита – «половина тетивы лука»), а потом сократили это слово до «джива». Мусульманские астрономы и математики, получившие знания по тригонометрии от индийцев, восприняли его как «джиба», а затем оно превратилось в «джайб», что на арабском языке означает «выпуклость», «пазуха». Наконец, в 7 в. «джайб» буквально перевели на латынь словом «sinus», которое не имело никакого отношения к обозначаемому им понятию. Санскритское «котиджива» – синус остатка (до 90°), а на латинском – sinus complementi, т.е. синус дополнения, в 17 в. сократилось до слова «косинус». Наименования «тангенс» и «секанс» (в переводе с латинского означающие «касательная» и «секущая») введены в 1583 немецким ученым Финком.

Большой вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые, например, Аль-Баттани (ок. 900 н.э.). В 10 в. багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль-Вефа (940–997), присоединил к линиям синусов и косинусов линии тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов. Он дает им те же определения, которые содержатся и в наших учебниках. Абу-ль-Вефа устанавливает и основные соотношения между этими линиями.

Итак, к концу 10 в. ученые исламского мира уже оперировали, наряду с синусом и косинусом, четырьмя другими функциями – тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом; открыли и доказали несколько важных теорем плоской и сферической тригонометрии; использовали окружность единичного радиуса (что позволило толковать тригонометрические функции в современном смысле); придумали полярный треугольник сферического треугольника. Арабские математики составили точные таблицы, например таблицы синусов и тангенсов с шагом в 1" и точностью до 1/700 000 000. Очень важной прикладной задачей была и такая: научиться определять направление на Мекку для пяти ежедневных молитв, где бы ни находился мусульманин.

Особенно большое влияние на развитие тригонометрии оказал Трактат о полном четырехстороннике астронома Насир-эд-Дин из Туса (1201–1274), известного так же под именем ат-Туси. Это было первое в мире сочинение, в котором тригонометрия трактовалась как самостоятельная область математики.

В 12 в. был переведен с арабского языка на латинский ряд астрономических работ, по ним впервые европейцы познакомились с тригонометрией.

Трактат Насир-эд-Дина произвел большое впечатление на немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436–1476). Современники больше знали его под именем Региомонтана (так переводится на латинский название его родного города Кенигсберга, ныне – Калининграда). Региомонтан составил обширные таблицы синусов (через 1 минуту с точностью до седьмой значащей цифры). Он впервые отступил от шестидесятиричного деления радиуса и за единицу измерения линии синуса принял одну десятимиллионную часть радиуса. Таким образом, синусы выражались целыми числами, а не шестидесятиричными дробями. До введения десятичных дробей оставался только один шаг, но он потребовал более 100 лет. Труд Региомонтана О треугольниках всех родов пять книг сыграл в европейской математике ту же роль, что и сочинение Насир-эд-Дина в науке мусульманских стран.

За таблицами Региомонтана последовал ряд других, еще более подробных. Друг Коперника Ретик (1514–1576) вместе с несколькими помощниками в течение 30 лет работал над таблицами, законченными и изданными в1596 его учеником Отто. Углы шли через 10"", а радиус делился на 1 000 000 000 000 000 частей, так что синусы имели 15 верных цифр.

Дальнейшее развитие тригонометрии шло по пути накопления и систематизации формул, уточнения основных понятий, становления терминологии и обозначений. Многие европейские математики работали в области тригонометрии. Среди них такие великие ученые, как Николай Коперник (1473–1543), Тихо Браге (1546–1601) и Иоганн Кеплер (1571–1630). Франсуа Виет (1540–1603) дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических треугольников, открыл «плоскую» теорему косинусов и формулы для тригонометрических функций от кратных углов. Исаак Ньютон (1643–1727) разложил эти функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе. Леонард Эйлер (1707–1783) ввел и само понятие функции, и принятую в наши дни символику. Величины sin x , cos x и т.д. он рассматривал как функции числа x – радианной меры соответствующего угла. Эйлер давал числу x всевозможные значения: положительные, отрицательные и даже комплексные. Он также обнаружил связь между тригонометрическими функциями и экспонентой комплексного аргумента, что позволило превратить многочисленные и зачастую весьма замысловатые тригонометрические формулы в простые следствия из правил сложения и умножения комплексных чисел. Он же ввел и обратные тригонометрические функции.

К концу 18 в. тригонометрия как наука уже сложилась. Тригонометрические функции нашли применение в математическом анализе, физике, химии, технике – везде, где приходится иметь дело с периодическими процессами и колебаниями – будь то акустика, оптика или качание маятника.

Решение любых треугольников, в конечном счете, сводится к решению прямоугольных треугольников (т.е. таких, у которых один из углов – прямой). Поскольку все прямоугольные треугольники с заданным острым углом подобны друг другу, отношения их соответственных сторон одинаковы. Например, в прямоугольном треугольнике ABC отношение двух его сторон, например, катета а к гипотенузе с , зависит от величины одного из острых углов, например А . Отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника и называются тригонометрическими функциями его острого угла. Всего таких отношений в треугольнике шесть, и им отвечают шесть тригонометрических функций (обозначения сторон и углов треугольника на рис. 3).

Так как А + В = 90°, то

sin A = cos B = cos (90° – A ),

A = ctg B = ctg (90° – A ).

Из определений вытекает несколько равенств, связывающих тригонометрические функции одного и того же угла между собой:

С учетом теоремы Пифагора a 2 + b 2 = c 2 можно выразить все шесть функций через какую-нибудь одну. Например, синус и косинус связаны основным тригонометрическим тождеством

sin 2 A + cos 2 A = 1.

Некоторые соотношения между функциями:

Эти формулы справедливы и для тригонометрических функций любого угла, но ими надо пользоваться осторожно, поскольку правые и левые части могут иметь разные области определения.

Есть только два прямоугольных треугольника, у которых и углы «хорошие» (выражаются целым или рациональным числом градусов), и хотя бы одно из отношений сторон рационально. Это равнобедренный треугольник (с углами 45, 45 и 90°) и половина равностороннего треугольника (с углами 30, 60, 90°) – как раз те два случая, когда значения тригонометрических функций удается вычислить прямо по определению. Эти значения приведены в таблице

ТРИГОНОМЕТРИЯ В НАШЕЙ ЖИЗНИ

Многие задаются вопросами: зачем нужна тригонометрия? Как она используется в нашем мире? С чем может быть связана тригонометрия? И вот ответы на эти вопросы. Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов), когда требуется сферическая тригонометрия, в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятности, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации,например, компьютерной томографии и ультразвук, в аптеках, в химии, в теории чисел, в сейсмологии, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

Геодезия

Часто с синусами и косинусами приходится сталкиваться геодезистам. Они имеют специальные инструменты для точного измерения углов. При помощи синусов и косинусов углы можно превратить в длины или координаты точек на земной поверхности.

Древняя астрономия

Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания - 360 локтей.

Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III век до н. э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача требовала вычисления отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры . Ему требовалось вычислить величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения sin угла 3 . По оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18, то есть расстояние до Солнца в 20 раз больше, чем до Луны ; на самом деле Солнце почти в 400 раз дальше, чем Луна, ошибка возникла из-за неточности в измерении угла.

Несколько десятилетий спустя Клавдий Птоломей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике. Среди прочего, описана стереографическая проекция, исследованы несколько практических задач, например: определить высоту и азимут небесного светила по его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это значит, что надо найти сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу.

· точного определения времени суток;

· вычисления будущего расположения небесных светил, моментов их восхода и заката, затмений Солнца и Луны;

· нахождения географических координат текущего места;

· вычисления расстояния между городами с известными географическими координатами.

Гномон- древнейший астрономический инструмент, вертикальный предмет (стела, колонна, шест),

длине его тени (в полдень) определить угловую высоту солнца.

Так, под котангенсом понималась длина тени от вертикального гномонавысотой 12 (иногда 7) единиц; первоначально эти понятия использовались для расчёта солнечных часов. Тангенсом называлась тень от горизонтального гномона. Косекансом и секансом назывались гипотенузы соответствующих прямоугольных треугольников (отрезки AO на рисунке слева)

Архитектура

Широко используется тригонометрия в строительстве, а особенно в архитектуре. Большинство композиционных решений и построений

Рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось

множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (тоже самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения

Ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту, поэтому расстояние от верхушки статуи до глаз человека увеличивается, следовательно и синус угла падения увеличивается. Сравнив изменения расстояния от верхушки статуи до земли в первом и во втором случаи, можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу

Медицина и биология .

Модель боритмов можно построить с помощью тригонометрических функций. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).

Формула сердца . В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии. Формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.

Также тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.

Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Строго говоря, идея "измерения углов" не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс

Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории

вновь позабыли.

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму

кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

Измерительные работы