Grafico di un'equazione a due variabili. Sistemi di equazioni

L'uso delle equazioni è molto diffuso nella nostra vita. Sono utilizzati in molti calcoli, costruzione di strutture e persino sport. L'uomo usava le equazioni nei tempi antichi e da allora il loro uso non ha fatto che aumentare.

Il concetto di risolvere un sistema di equazioni significa determinare tutte le radici, cioè i valori che, dopo averli sostituiti nel sistema, formano un'equazione in un'identità. Quando si risolvono sistemi di equazioni, è possibile utilizzare i seguenti metodi:

* Metodo di sostituzione. Questo metodo consiste nel fatto che per risolvere l'equazione è necessario esprimere 1 delle variabili e sostituire l'espressione risultante al posto di questa variabile nella 2a equazione. Avendo ricevuto un'equazione con 1 incognita, puoi facilmente risolverla e scoprire il valore dell'altra variabile;

* Metodo di suddivisione del sistema. Questo metodo consiste nel fattorizzare una delle equazioni del sistema in modo tale che a destra ci sia \, poiché allora ogni fattore è equiparato a \ e, sommando le restanti equazioni del sistema originario, otteniamo più sistemi, ciascuno di che saranno più semplici di quelli originali;

* Metodo di addizione e sottrazione. Il nome stesso la dice lunga sull'essenza del metodo. Sommando o sottraendo 2 equazioni del sistema, ne otteniamo una nuova in modo da sostituire una delle equazioni del sistema originale;

* Metodo di divisione e moltiplicazione. L'essenza del metodo è dividere/moltiplicare i lati sinistro e destro di due equazioni del sistema, rispettivamente, per ottenere una nuova equazione e sostituire con essa una delle equazioni del sistema originale.

Dove posso risolvere sistemi di equazioni razionali online?

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Ti sei già incontrato al corso di algebra di 7a elementare, ma questi erano solo sistemi di tipo speciale: sistemi di due equazioni lineari con due variabili. In terza media hai imparato a risolvere equazioni razionali con una variabile, il che significa che puoi pensare a risolvere sistemi di equazioni razionali con due variabili, soprattutto perché tali sistemi molto spesso rappresentano modelli matematici delle situazioni studiate. Hai già imparato a conoscere uno di questi modelli dal libro di testo Algebra-8. L'esempio seguente è tratto dal libro di testo di riferimento.

In pratica, è più conveniente un'interpretazione più ampia del termine "equazione razionale con due variabili": si tratta di un'equazione della forma - espressioni razionali con due variabili xey.
Esempi di equazioni razionali con due variabili:

Naturalmente, puoi considerare equazioni razionali con altre variabili, non necessariamente con x, ad esempio a3 - bx = 3ab - un'equazione razionale con due variabili a, b. Ma secondo la tradizione, in algebra si preferisce usare le lettere xey come variabili.

Definizione 2.

Una soluzione dell'equazione p (x, y) = 0 è una qualsiasi coppia di numeri (x; y) che soddisfa questa equazione, cioè trasforma l'uguaglianza con variabili p (x, y) = 0 in una vera uguaglianza numerica.

Per esempio:

1) (3; 7) - soluzione dell'equazione x 2 + y 2 = 58. In effetti, 3 2 + 7 2 = 58 è un'uguaglianza numerica corretta.
2) - soluzione dell'equazione x 2 + y 2 - 58. Infatti, - corretta uguaglianza numerica (22 + 36 = 58).

3) (0; 5) - soluzione dell'equazione 2xy + x 3 = 0. Infatti, 2 0 5 + 0+ O 2 = 0 è un'uguaglianza numerica corretta.
4) (1; 2) non è una soluzione dell'equazione 2xy + x 3 = 0. In effetti, 2 1 2 + 3 = 0 è un'uguaglianza errata (risulta 5 = 0).

Per le equazioni con due variabili, così come per le equazioni con una variabile, possiamo introdurre il concetto di equivalenza delle equazioni.

Definizione 3.

Due equazioni p(x, y) = 0 e d(x, y) = 0 si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni (in particolare, se entrambe le equazioni non hanno soluzioni).

Di solito, quando risolvono un'equazione, cercano di sostituire questa equazione con una più semplice, ma equivalente ad essa. Tale sostituzione è chiamata trasformazione equivalente dell'equazione. Le due principali conversioni equivalenti sono elencate di seguito:

1) Trasferire i termini dell'equazione da una parte dell'equazione a un'altra con segni opposti.
Ad esempio, sostituire l'equazione 2x + bу = 7x - 8у con l'equazione 2x - 7x - -8у - by è una trasformazione equivalente dell'equazione.
2) Moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero o espressione diverso da zero.
Ad esempio, sostituire l'equazione 0,5l:2 - 0,3xy = 2y con l'equazione 5l:2 - 3xy = 20y (entrambi i lati dell'equazione sono stati moltiplicati termine per termine per 10) è una trasformazione equivalente dell'equazione.

Le trasformazioni inequivalenti dell'equazione, come nel caso delle equazioni con una variabile, sono:

1) Liberazione dai denominatori contenenti variabili.
2) Quadratura di entrambi i membri dell'equazione.

Se una delle trasformazioni non equivalenti indicate è stata utilizzata nel processo di risoluzione dell'equazione, tutte le soluzioni trovate devono essere verificate mediante sostituzione nell'equazione originale, poiché tra di esse potrebbero esserci soluzioni estranee.

A volte è possibile passare al modello geometrico (grafico) di un'equazione con due variabili, ad es. rappresentare graficamente l'equazione. Probabilmente ricorderai che il grafico di un'equazione lineare con due variabili ax + bу + c = 0 (a, b, c sono numeri, coefficienti, dove almeno uno dei numeri a, b è diverso da zero) è una linea retta - un'equazione lineare del modello geometrico. Proviamo a trovare i modelli grafici corrispondenti per alcune equazioni più razionali con due variabili xey.

Esempio 2. Disegna un grafico dell'equazione y - 2x2 = 0.

Soluzione. Trasformiamo l'equazione nella forma y = 2x2. Il grafico della funzione y - 2x2 è una parabola, che è anche considerata il grafico dell'equazione y - 2x2 = 0 (Fig. 33).

Esempio 3. Rappresentare graficamente l'equazione xy = 2.
Soluzione. Trasformiamo l'equazione nella forma Il grafico della funzione - è un'iperbole, è anche considerato il grafico dell'equazione xy = 2 (Fig. 34).

Pertanto, se l'equazione p(x, y) = O può essere trasformata nella forma y = f (x), allora il grafico della funzione y - f (x) è considerato allo stesso tempo il grafico della equazione p(x, y) - 0.

Esempio 4. Rappresentare graficamente l'equazione x 2 + y 2 = 16.

Soluzione.

Usiamo un teorema del corso di geometria: il grafico dell'equazione x 2 + y 2 = r 2, dove r è un numero positivo, è un cerchio con centro nell'origine e raggio r. Ciò significa che il grafico dell'equazione x 2 + y 2 = 16 è un cerchio con centro nell'origine e raggio 4 (Fig. 35).

Il teorema sopra menzionato è un caso particolare del seguente teorema, che speriamo ti sia noto anche dal tuo corso di geometria.

Esempio 5. Rappresentare graficamente l'equazione:

a) (x - I) 2 + (y - 2) 2 = 9; B) x2 + y2 + 4x = 0.

Soluzione:

a) Riscriviamo l'equazione nella forma (x - I) 2 + (y - 2) 2 = 32. Il grafico di questa equazione, secondo il teorema, è un cerchio con centro nel punto (1; 2) e raggio 3 (Fig. 37).

b) Riscriviamo l'equazione nella forma (x 2 + 4x + 4) + y 2 = 4, cioè (x + 2) 2 + y 2 = 4 e inoltre (x - (-2)) 2 + (y - O) 2 = 22. Il grafico di questa equazione, secondo il teorema, è un cerchio con il centro in il punto (-2; 0 ) e il raggio 2 (Fig. 38).

Definizione 4.

Se il compito è trovare coppie di valori (x; y) che soddisfino contemporaneamente l'equazione p (x, y) = 0 e l'equazione q (x, y) = 0, allora si dice che queste equazioni formano un sistema di equazioni:

Una coppia di valori (x; y), che è contemporaneamente una soluzione sia alla prima che alla seconda equazione del sistema, è chiamata soluzione del sistema di equazioni. Risolvere un sistema di equazioni significa trovare tutte le sue soluzioni oppure constatare che non esistono soluzioni.
Ad esempio, coppia (3; 7) - soluzione al sistema di equazioni

Infatti questa coppia soddisfa sia la prima che la seconda equazione del sistema, il che significa che ne è la soluzione. Di solito è scritto così: (3; 7) - una soluzione del sistema o una coppia (5; 9) non è una soluzione del sistema (1): non soddisfa la prima equazione (sebbene soddisfi la seconda equazione del sistema).

Naturalmente, le variabili nelle equazioni che formano un sistema di equazioni possono essere designate con altre lettere, ad esempio: Ma in ogni caso, quando si scrive la risposta sotto forma di una coppia di numeri, viene utilizzato il metodo lessicografico, ad es. Il primo posto spetta a quella delle due lettere che compare prima nell'alfabeto latino.

A volte puoi risolvere un sistema di equazioni utilizzando un metodo grafico con cui hai familiarità: devi rappresentare graficamente la prima equazione, quindi rappresentare graficamente la seconda equazione e infine trovare i punti di intersezione dei grafici; le coordinate di ciascun punto di intersezione servono come soluzione al sistema di equazioni.

Esempio 6. Risolvere il sistema di equazioni

Soluzione.

1) Costruisci un grafico dell'equazione x 2 + y 2 = 16 - un cerchio con centro nell'origine e raggio 4 (Fig. 39).
2) Costruiamo un grafico dell'equazione y - x = 4. Questa è una linea retta che passa per i punti (0; 4) e (-4; 0) (Fig. 39).
3) Il cerchio e la retta si intersecano nei punti A e B (Fig. 39). A giudicare dal modello geometrico costruito, il punto A ha coordinate A(-4; 0) e il punto B ha coordinate B(0; 4). La verifica mostra che in effetti la coppia (-4; 0) e la coppia (0; 4) sono soluzioni di entrambe le equazioni del sistema, e quindi soluzioni del sistema di equazioni. Di conseguenza, il sistema di equazioni dato ha due soluzioni: (-4; 0) e (0; 4).

Risposta: (-4; 0); (0; 4).

Esempio 7. Risolvere il sistema di equazioni

Soluzione.

1) Dopo aver riscritto la prima equazione del sistema nella forma y = 2x 2, arriviamo alla conclusione: il grafico dell'equazione è una parabola (Fig. 40).
2) Dopo aver riscritto la seconda equazione del sistema nella forma arriviamo alla conclusione: il grafico dell'equazione è un'iperbole (Fig. 40).

3) La parabola e l'iperbole si intersecano nel punto A (Fig. 40). A giudicare dal modello geometrico costruito, il punto A ha coordinate A (1; 2). La verifica mostra che effettivamente la coppia (1; 2) è una soluzione di entrambe le equazioni del sistema, e quindi una soluzione del sistema di equazioni. Di conseguenza, il dato sistema di equazioni ha una soluzione: (1; 2).

Risposta: (1; 2).

Il metodo grafico per risolvere i sistemi di equazioni, come il metodo grafico per risolvere le equazioni, è bello, ma inaffidabile: primo, perché non sempre saremo in grado di costruire grafici di equazioni; in secondo luogo, anche se fosse possibile costruire i grafici delle equazioni, i punti di intersezione potrebbero non essere così “buoni” come negli esempi 6 e 7 appositamente selezionati, e potrebbero addirittura trovarsi al di fuori dei confini del disegno. Ciò significa che dobbiamo disporre di metodi algebrici affidabili per risolvere sistemi di due equazioni in due variabili. Questo sarà discusso nel paragrafo successivo.

A.G. Mordkovich Algebra 9a elementare

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Appunti delle lezioni di matematica

sul tema:

« Equazioni razionali a due variabili.

Concetti basilari».

Preparato da:

Insegnante di matematica

Scuola secondaria MBOU n. 2

Borschova E.S.

Pavlovski Posad

Tipo di lezione: imparare nuovo materiale.

Argomento della lezione: equazioni razionali a due variabili. Concetti basilari.

Obiettivi:

introdurre concetti e termini di base dell'argomento;

sviluppare il discorso e il pensiero matematico degli studenti.

Attrezzatura: tavola per appunti, proiettore, schermo, presentazione.

Organizzare il tempo. (2 – 3 minuti)

(1 diapositiva)

Ciao ragazzi, accomodatevi! Oggi esamineremo un argomento nuovo, piuttosto interessante, che sarà la chiave per padroneggiare con successo il materiale futuro. Apriamo i nostri quaderni di esercizi, annotiamo la data, oggi è il 16 ottobre, lavoro in classe e argomento della lezione: “Equazioni razionali con due variabili. Concetti basilari". (l'insegnante scrive la stessa cosa alla lavagna)

II . Aggiornamento della conoscenza. (5 minuti.)

(2 diapositive)

Per iniziare a studiare un nuovo argomento, dobbiamo ricordare del materiale che già conosci. Ricordiamo quindi le funzioni elementari e i relativi grafici:

1. Grafico di una funzione lineare

2. Parabola. Grafico di una funzione quadratica , (a ≠ 0)

Consideriamo il caso canonico:

3. Parabola cubica

Una parabola cubica è data dalla funzione

4. Grafico dell'iperbole

Ancora una volta ricordiamo la banale iperbole

Molto bene!

III . Studio di nuovo materiale (accompagnato da presentazione). (35 minuti)

(3 diapositive)

Nelle lezioni precedenti hai imparato la definizione di un'equazione razionale in una variabile, e ora stiamo dicendo che è molto simile alla definizione di un'equazione razionale in due variabili:

Non hai bisogno di scriverlo, è nei tuoi libri di testo, rileggilo a casa e imparalo!

Annota degli esempi sul tuo quaderno:

Inoltre, possiamo dire che un'equazione razionale della forma h(x; y) = g(x; y) può sempre essere trasformata nella forma p(x; y) = 0, dove p(x; y) = 0 è un'espressione razionale. Per fare ciò, devi riscrivere l'espressione in questo modo: h (x; y) - g (x; y) = 0, cioè p (x; y) = 0. Annota le ultime due uguaglianze sul tuo quaderno!

(4 diapositive)

Ascoltiamo attentamente e ricordiamo la seguente definizione; non è necessario scriverla!

E nel tuo quaderno scrivi solo esempi:

(5 diapositive)

Risolviamo la seguente equazione (gli studenti scrivono la soluzione sui loro quaderni, l'insegnante commenta ogni passaggio della soluzione, rispondendo contemporaneamente alle domande dei bambini):

(6 diapositive)

La definizione successiva è la definizione dell'equivalenza di due equazioni, anche questo lo sai già dai paragrafi precedenti, quindi guarda e ascolta:

Ora ricordiamo quali trasformazioni equivalenti conosci:

Trasferire i termini di un'equazione da una parte all'altra con segni opposti (esempi alla lavagna, non devi scriverli, se vuoi, scrivili);

Moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero diverso da zero o (lo sappiamo anche) per un'espressione ovunque diversa da zero (attenzione a questo!); (Scrivi degli esempi per chiunque ne abbia bisogno).

Quali trasformazioni disuguali conosci?

1) esenzione dai denominatori contenenti variabili;

2) elevando al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

Meraviglioso!

(7 diapositive)

Il prossimo concetto che considereremo oggi è la formula per la distanza tra due punti.

Scrivere:

(gli studenti scrivono entrambi i teoremi sui loro quaderni)

Ridisegniamo questo disegno su un taccuino, etichettiamo gli assi delle coordinate, il centro del cerchio e segniamo il raggio.

Avete domande? (se non ci sono domande, continuiamo a lavorare)

(8 diapositive)

Diamo un'occhiata agli esempi, scriviamo:

(Fig. a P1)
(Fig. a P2)

I bambini gradualmente, sulla base del teorema sopra scritto, rispondendo alle domande dell'insegnante, decidono autonomamente, scrivono la soluzione su un quaderno e ridisegnano i disegni.

Ben fatto! Ora ridisegna una tabella del genere per te stesso, in futuro diventerà un buon assistente nella risoluzione dei problemi.

(9 diapositive)

Gli studenti disegnano attentamente questa tabella sui loro quaderni e vi inseriscono i dati.

V. Compiti a casa (2 – 3 minuti).

(10 diapositive)

Mancano 2 minuti alla fine della lezione, apri i diari, scrivi i compiti:

1) Capitolo 2, §5;

2) p.71 domande di autotest;

3) N. 5.1; N. 5.3 (a, b); N. 5.7.

Introspezione.

L'inizio della lezione è stato abbastanza amichevole, sincero, aperto e organizzato. La classe era preparata per la lezione. I bambini hanno mostrato buone prestazioni durante tutta la lezione.

Ho immediatamente annunciato gli obiettivi della lezione. Gli obiettivi proposti ai bambini per la lezione corrispondevano ai requisiti del programma e al contenuto del materiale.

All'inizio della lezione, per intensificare l'attività cognitiva, ai bambini è stato chiesto di ricordare del materiale tratto da materiale precedentemente studiato, con cui hanno affrontato senza particolari difficoltà.

Il contenuto della lezione soddisfaceva i requisiti dello standard educativo.

La struttura della lezione è suggerita sopra. Secondo me corrisponde agli obiettivi e al tipo di lezione. Le fasi della lezione erano logicamente collegate e passavano senza intoppi l'una nell'altra. Ad ogni fase i risultati sono stati riassunti. Il tempo è stato assegnato alle singole fasi in modo diverso a seconda di quale di esse fosse quella principale. Secondo me è stato distribuito razionalmente. Sono stati organizzati l'inizio e la fine della lezione. Il ritmo della lezione è stato ottimale.

Dopo la prima fase di aggiornamento delle conoscenze, è arrivata la fase principale della lezione: una spiegazione del nuovo materiale. Questa fase era quella principale, quindi la maggior parte del tempo è stata dedicata ad essa.

La presentazione del nuovo materiale è stata logica, competente, ad alto livello teorico e allo stesso tempo accessibile ai bambini. Ho sempre evidenziato i pensieri principali sull'argomento e li ho annotati nei loro quaderni di esercizi.

Lo studio del nuovo materiale è stato effettuato sotto forma di una breve lezione con il completamento di compiti pratici di base, per l'assimilazione più rapida e corretta del materiale.

Ho fatto una presentazione in PowerPoint. La presentazione ha avuto una funzione prevalentemente ausiliaria.

Per controllare l'assimilazione della conoscenza, durante la lezione, gli studenti hanno risolto problemi, in base ai risultati dei quali ho potuto giudicare il grado di assimilazione del materiale teorico da parte di ciascuno dei bambini. Dopo aver monitorato le conoscenze, l'insegnante ha effettuato un lavoro di correzione. Sono state nuovamente prese in considerazione le domande che hanno causato maggiori difficoltà agli studenti.

Successivamente si è proceduto al riassunto della lezione e all’assegnazione dei compiti agli studenti. I compiti erano di natura rinforzante e di sviluppo. Secondo me era fattibile per tutti i bambini.

Il contenuto della lezione era ottimale, i metodi di insegnamento erano orali, visivi e pratici. La forma del lavoro è la conversazione. Ho utilizzato tecniche per attivare l'attività cognitiva: ponendo domande problematiche, generalizzando secondo piani di carattere generale.

Gli studenti sono stati attivi nella lezione. Hanno mostrato la capacità di lavorare in modo produttivo, di trarre conclusioni da ciò che hanno visto e la capacità di analizzare e generalizzare le proprie conoscenze. I bambini mostravano anche la presenza di capacità di autocontrollo, ma solo pochi erano irrequieti e ricevevano la massima attenzione da parte mia.

La classe era preparata per la lezione.

Credo che gli obiettivi fissati all'inizio della lezione siano stati raggiunti.

Il minimo comune denominatore viene utilizzato per semplificare questa equazione. Questo metodo viene utilizzato quando non è possibile scrivere una determinata equazione con un'espressione razionale su ciascun lato dell'equazione (e utilizzare il metodo di moltiplicazione incrociata). Questo metodo viene utilizzato quando ti viene fornita un'equazione razionale con 3 o più frazioni (nel caso di due frazioni è meglio utilizzare la moltiplicazione incrociata).

Consideriamo un'equazione con due variabili

Una coppia di valori variabili che rende vera un'equazione con due variabili è chiamata soluzione dell'equazione. Se viene data un'equazione con due variabili xey, è consuetudine scriverne la soluzione mettendo al primo posto il valore della variabile e al secondo il valore di y.

Pertanto, le coppie sono soluzioni dell'equazione, ma la coppia (1; 5) non è una soluzione dell'equazione.

Questa equazione ha altre soluzioni. Per trovarli, è conveniente esprimere una variabile in termini di un'altra, ad esempio da x a y y, ottenendo l'equazione . Avendo scelto un valore arbitrario di y, calcoliamo il valore corrispondente di x. Ad esempio, se ciò significa che la coppia (31; 7) è una soluzione dell'equazione; se ciò significa che anche la coppia (4; -2) è una soluzione dell'equazione data, ecc.

Le equazioni a due variabili si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Per le equazioni a due variabili valgono i Teoremi 5.1 e 5.2 (vedi paragrafo 135) sulle trasformazioni equivalenti dell'equazione.