Progetto informativo "trigonometria nella vita reale". Applicazione della trigonometria nell'arte e nell'architettura Messaggio sul tema della trigonometria in medicina

Rodikova Valeria, Tipsin Eldar

Le prime conoscenze matematiche compaiono in tempi antichi (IV-III secolo aC) nell'antica Grecia. Nei secoli XVII-XVIII ebbe luogo il contenuto fondamentale della scienza. Scienziati di diversi paesi in diversi periodi di sviluppo della civiltà hanno contribuito allo sviluppo della matematica moderna. La branca della matematica che studia le funzioni trigonometriche è chiamata trigonometria. Persone di ogni ceto sociale utilizzano elementi di trigonometria nel loro lavoro. Si tratta di ricercatori in vari campi scientifici e applicati, fisici, designer, specialisti di informatica, designer, autori di presentazioni multimediali, medici e specialisti in vari campi. Questo progetto ha esplorato l'applicazione della trigonometria in architettura.

Scaricamento:

Anteprima:

https://accounts.google.com

Didascalie delle diapositive:

Il lavoro è stato svolto da: Rodikova Valeria, Tipsin Eldar, studenti della classe 10 “A” della MBOU “Beloyarsk Secondary School No. 1” Supervisore: Zhelnirovich N.V., insegnante di matematica Trigonometria in architettura 2013 Conferenza regionale di ricerca degli studenti “Futura élite di Verkhneketye”

TRIGONOMETRIA - (dal greco trigwnon - triangolo e meterw - misura) - scienza che studia le relazioni tra gli angoli e i lati dei triangoli e le funzioni trigonometriche.

Abbiamo ipotizzato che la trigonometria sia utilizzata non solo nei principi dell'analisi e dell'algebra, ma anche in molte altre scienze, ad esempio in architettura.

Introduzione ai campi di applicazione della trigonometria in architettura. Obiettivi di lavoro

Scopri come viene utilizzata la trigonometria in architettura Esplora l'applicazione della trigonometria in quest'area problematica

Zaha Hadid Zaha Hadid (31 ottobre 1950, Baghdad, Iraq) è un architetto britannico di origine araba. Rappresentante del decostruttivismo. Nel 2004 è diventata la prima donna architetto della storia a ricevere il Premio Pritzker. Il decostruttivismo è una tendenza nell’architettura moderna. I progetti decostruttivisti sono caratterizzati da complessità visiva, forme inaspettate spezzate e deliberatamente distruttive, nonché da un’invasione decisamente aggressiva dell’ambiente urbano.

Ponte Sheikh Zayed ad Abu Dhabi, Emirati Arabi Uniti

Antoni Placid Guillem Gaudí i Curnet è un architetto spagnolo, la maggior parte delle cui opere stravaganti e fantastiche furono erette a Barcellona. Lo stile in cui ha lavorato Gaudi è classificato come Art Nouveau. Tuttavia, nel suo lavoro ha utilizzato elementi di un'ampia varietà di stili, sottoponendoli a lavorazione. Il moderno è un movimento artistico nell'arte, le sue caratteristiche distintive sono il rifiuto di linee rette e angoli a favore di linee più naturali, “naturali”.

Scuola per bambini Gaudi a Barcellona, ​​Spagna

Gaudí superfici k =1, a =1

Anteprima:

Per utilizzare le anteprime delle presentazioni, crea un account Google e accedi ad esso: https://accounts.google.com

Didascalie delle diapositive:

Santiago Calatrava Valls è un architetto e scultore spagnolo, autore di numerose costruzioni avveniristiche in diversi paesi del mondo.

Cantina Bodegas Isios Spagna

CANDELA Felix (1910-1997), architetto e ingegnere messicano. Creatore di varie volte a conchiglia in cemento armato; sviluppato rivestimenti a pareti sottili sotto forma di paraboloidi iperbolici.

Ristorante a Los Manantiales, Argentina [ a d cos (t) + d d t , b d sin (t), c d t + e d t 2 ]

Swiss Re Insurance Corporation a Londra, Regno Unito x = λ y = f (λ) cos θ z = f (λ) sin θ

Architettura gotica Cattedrale di Notre Dame 1163 – metà del XIV secolo.

Onde sinusoidali di Berlino, Germania

RISULTATI Progetto “Le Scuole del Futuro”

: Abbiamo scoperto che la trigonometria è utilizzata non solo nell'algebra e nei principi dell'analisi, ma anche in molte altre scienze. La trigonometria è la base per la creazione di molti capolavori dell'arte e dell'architettura. Abbiamo imparato a vedere la trigonometria nella costruzione di edifici Modelli. Conclusione

Grazie per l'attenzione!

ISTITUZIONE EDUCATIVA COMUNALE

"PALESTRA N. 1"

"TRIGONOMETRIA NELLA VITA REALE"

progetto informativo

Completato:

Krasnov Egor

studente della classe 9A

Supervisore:

Borodkina Tatyana Ivanovna

Zheleznogorsk

Introduzione……………..…………3

Rilevanza……………………….3

Obiettivo................................................................4

Compiti…………………..……….4

1.4 Metodi……………………………………...4

2. Trigonometria e storia del suo sviluppo……………..5

2.1 Trigonometria e fasi di formazione………………….5

2.2 Trigonometria come termine. Caratteristiche……………….7

2.3 Occorrenza del seno…………….……………….7

2.4 L'aspetto del coseno………………….8

2.5 L'emergere di tangente e cotangente……...……………….9

2.6 Ulteriore sviluppo della trigonometria……...………………..9

3. Trigonometria e vita reale………………...12

3.1.Navigazione……………..……….....12

3.2Algebra….……………..……….....14

3.3.Fisica….……………..……….....14

3.4.Medicina, biologia e bioritmi…..…………….....15

3.5.Musica…………….…..………....19

3.6.Informatica..……………..…………………......21

3.7 Settore edile e geodesia…………...22

3.8 Trigonometria nell'arte e nell'architettura………………..…....22

Conclusione. …………………..……………..…..25

Riferimenti.…………….…………….……………27

Appendice 1.…....……………….…………….……………29

introduzione

Nel mondo moderno, una notevole attenzione è rivolta alla matematica come una delle aree di attività scientifica e di studio. Come sappiamo, una delle componenti della matematica è la trigonometria. La trigonometria è la branca della matematica che studia le funzioni trigonometriche. Credo che questo argomento, in primo luogo, sia rilevante da un punto di vista pratico. Stiamo finendo i nostri studi a scuola e comprendiamo che per molte professioni la conoscenza della trigonometria è semplicemente necessaria, perché... consente di misurare le distanze dalle stelle vicine in astronomia, tra punti di riferimento in geografia e controllare i sistemi di navigazione satellitare. I principi della trigonometria vengono utilizzati anche in settori quali la teoria musicale, l'acustica, l'ottica, l'analisi dei mercati finanziari, l'elettronica, la teoria della probabilità, la statistica, la biologia, la medicina (compresi gli ultrasuoni e la tomografia computerizzata), la farmaceutica, la chimica, la teoria dei numeri (e, come di conseguenza, la crittografia), sismologia, meteorologia, oceanologia, cartografia, molte branche della fisica, topografia e geodesia, architettura, fonetica, economia, ingegneria elettronica, ingegneria meccanica, computer grafica, cristallografia.

In secondo luogo, pertinenza Il tema di "Trigonometria nella vita reale" è che la conoscenza della trigonometria aprirà nuovi modi per risolvere vari problemi in molti campi della scienza e semplificherà la comprensione di alcuni aspetti di varie scienze.

È da tempo una pratica consolidata per gli scolari affrontare la trigonometria tre volte. Quindi possiamo dire che la trigonometria ha tre parti. Queste parti sono interconnesse e dipendono dal tempo. Allo stesso tempo, sono assolutamente diversi, non hanno caratteristiche simili sia in termini di significato che viene stabilito quando si spiegano i concetti di base, sia in termini di funzioni.

La prima conoscenza avviene in terza media. Questo è il periodo in cui gli scolari imparano: “Le relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo”. Nel processo di studio della trigonometria vengono forniti i concetti di coseno, seno e tangente.

Il passo successivo è continuare a studiare la trigonometria in prima media. Il livello di complessità aumenta, cambiano i modi e i metodi per risolvere gli esempi. Ora, al posto dei coseni e delle tangenti, arriva il cerchio e le sue capacità.

L'ultima fase è il grado 10, in cui la trigonometria diventa più complessa e cambiano i modi di risolvere i problemi. Viene introdotto il concetto di misura dell'angolo in radianti. Vengono introdotti i grafici delle funzioni trigonometriche. In questa fase, gli studenti iniziano a risolvere e apprendere le equazioni trigonometriche. Ma non la geometria. Per comprendere appieno la trigonometria, è necessario conoscere la storia della sua origine e del suo sviluppo. Dopo aver conosciuto il contesto storico e studiato il lavoro di grandi personaggi, matematici e scienziati, possiamo capire come la trigonometria influenza le nostre vite, come aiuta a creare nuovi oggetti e fare scoperte.

Scopo Il mio progetto è studiare l'influenza della trigonometria nella vita umana e sviluppare interesse nei suoi confronti. Dopo aver risolto questo obiettivo, saremo in grado di capire quale posto occupa la trigonometria nel nostro mondo, quali problemi pratici risolve.

Per raggiungere questo obiettivo, abbiamo individuato quanto segue compiti:

1. Conoscere la storia della formazione e dello sviluppo della trigonometria;

2. Considerare esempi dell'influenza pratica della trigonometria in vari campi di attività;

3. Mostra con esempi le possibilità della trigonometria e la sua applicazione nella vita umana.

Metodi: Ricerca e raccolta di informazioni.

1. Trigonometria e storia del suo sviluppo

Cos'è la trigonometria? Questo termine si riferisce a una branca della matematica che studia la relazione tra diverse dimensioni degli angoli, studia le lunghezze dei lati di un triangolo e le identità algebriche delle funzioni trigonometriche. È difficile immaginare che quest'area della matematica ci venga in mente nella vita di tutti i giorni.

1.1 Trigonometria e fasi della sua formazione

Passiamo alla storia del suo sviluppo, alle fasi della formazione. Sin dai tempi antichi, la trigonometria ha acquisito i suoi rudimenti, si è sviluppata e ha mostrato i suoi primi risultati. Possiamo vedere le primissime informazioni sull'emergere e sullo sviluppo di quest'area nei manoscritti che si trovano nell'antico Egitto, in Babilonia e nell'antica Cina. Dopo aver studiato il 56esimo problema del papiro Rhinda (II millennio a.C.), si può vedere che propone di trovare l'inclinazione di una piramide la cui altezza è di 250 cubiti. La lunghezza del lato della base della piramide è di 360 cubiti (Fig. 1). È curioso che nel risolvere questo problema gli egiziani usassero contemporaneamente due sistemi di misurazione: "gomiti" e "palmi". Oggi, risolvendo questo problema, troveremmo la tangente dell'angolo: conoscendo metà della base e l'apotema (Fig. 1).

Il passo successivo fu la fase di sviluppo della scienza, associata all'astronomo Aristarco di Samo, vissuto nel III secolo a.C. e. Il trattato, considerando la grandezza e la distanza del Sole e della Luna, si è posto un compito specifico. Si esprimeva nella necessità di determinare la distanza di ciascun corpo celeste. Per effettuare tali calcoli, era necessario calcolare il rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo con il valore noto di uno degli angoli. Aristarco considerava il triangolo rettangolo formato da Sole, Luna e Terra durante una quadratura. Per calcolare il valore dell'ipotenusa, che serve come base per la distanza dalla Terra al Sole, utilizzando la gamba, che serve come base per la distanza dalla Terra alla Luna, con un valore noto dell'angolo adiacente (87°), che equivale a calcolare il valore peccato dell'angolo 3. Secondo Aristarco questo valore è compreso tra 1/20 e 1/18. Ciò suggerisce che la distanza tra il Sole e la Terra è venti volte maggiore di quella tra la Luna e la Terra. Sappiamo però che il Sole è 400 volte più lontano della posizione della Luna. L'errore di giudizio è sorto a causa dell'imprecisione nella misurazione dell'angolo.

Diversi decenni dopo, Claudio Tolomeo, nelle sue opere Etnogeografia, Analemma e Planispherium, fornisce un resoconto dettagliato delle aggiunte trigonometriche alla cartografia, all'astronomia e alla meccanica. Tra le altre cose, viene raffigurata una proiezione stereografica, vengono studiate una serie di questioni fattuali, ad esempio: stabilire l'altezza e l'angolo del corpo celeste in base alla sua declinazione e all'angolo orario. Dal punto di vista della trigonometria, ciò significa che è necessario trovare il lato del triangolo sferico secondo le altre 2 facce e l'angolo opposto (Fig. 2)

Nel loro insieme, si può notare che la trigonometria è stata utilizzata allo scopo di:

Stabilire chiaramente l'ora del giorno;

Calcolo della posizione imminente dei corpi celesti, episodi del loro sorgere e tramontare, eclissi di Sole e Luna;

Trovare le coordinate geografiche della posizione attuale;

Calcolo della distanza tra megalopoli con coordinate geografiche note.

Uno gnomone è un antico meccanismo astronomico, un oggetto verticale (stele, colonna, palo), che permette di determinare l'altezza angolare del sole utilizzando la lunghezza minima della sua ombra a mezzogiorno (Fig. 3).

Pertanto, la cotangente ci è stata rappresentata come la lunghezza dell'ombra di uno gnomone verticale con un'altezza di 12 (a volte 7) unità. Si noti che nella versione originale queste definizioni venivano utilizzate per calcolare le meridiane. La tangente era rappresentata da un'ombra che cadeva da uno gnomone orizzontale. Cosecante e secante sono intese come ipotenuse, che corrispondono ai triangoli rettangoli.

1.2 Trigonometria come termine. Caratteristica

Per la prima volta il termine specifico “trigonometria” compare nel 1505. Fu pubblicato e utilizzato in un libro dal teologo e matematico tedesco Bartholomeus Pitiscus. A quel tempo la scienza veniva già utilizzata per risolvere problemi astronomici e architettonici.

Il termine trigonometria è caratterizzato da radici greche. Ed è composto da due parti: “triangolo” e “misura”. Studiando la traduzione, possiamo dire che abbiamo davanti a noi una scienza che studia i cambiamenti dei triangoli. La comparsa della trigonometria è associata al rilevamento del territorio, all'astronomia e al processo di costruzione. Sebbene il nome sia apparso relativamente di recente, molte definizioni e dati attualmente classificati come trigonometria erano noti prima del 2000.

1.3. Presenza di seni

La rappresentazione del seno ha una lunga storia. In effetti, varie relazioni tra i segmenti di un triangolo e un cerchio (e, in sostanza, funzioni trigonometriche) furono trovate già all'inizio del III secolo. AVANTI CRISTO. nelle opere di famosi matematici dell'antica Grecia: Euclide, Archimede, Apollonio di Perga. Durante il periodo romano, queste relazioni furono già studiate abbastanza regolarmente da Menelao (I secolo d.C.), sebbene non ricevessero un nome speciale. Il seno moderno dell'angolo α, ad esempio, è studiato come una semicorda su cui poggia l'angolo centrale di grandezza α, oppure come una corda di doppio arco.

Nel periodo successivo, la matematica per lungo tempo fu formata più rapidamente da scienziati indiani e arabi. Nei secoli IV-V, in particolare, nelle opere di astronomia del famoso scienziato indiano Aryabhata (476-c. 550) sorse un termine precedentemente speciale, da cui prese il nome il primo satellite indù della Terra. Chiamò il segmento ardhajiva (ardha-metà, jiva-stringa, una rottura che ricorda un asse). Successivamente fu adottato il nome più abbreviato jiva. Matematici arabi nel IX secolo. il termine jiva (o jiba) fu sostituito dalla parola araba jaib (concavità). Durante la transizione dei testi matematici arabi al XII secolo. questa parola è stata sostituita dal latino sinus (sinus-bend) (Fig. 4).

1.4. L'aspetto del coseno

La definizione e l'origine del termine "coseno" sono di natura più a breve termine e a breve termine. Per coseno intendiamo “seno aggiuntivo” (o altrimenti “seno dell'arco aggiuntivo”; ricordiamo cosα= sin(90° - a)). Un fatto interessante è che i primi metodi per risolvere i triangoli, basati sulla relazione tra i lati e gli angoli di un triangolo, furono trovati dall'astronomo greco Ipparco nel II secolo a.C. Questo studio fu condotto anche da Claudio Tolomeo. A poco a poco apparvero nuovi fatti sulla relazione tra i rapporti tra i lati di un triangolo e i suoi angoli e cominciò ad essere applicata una nuova definizione: la funzione trigonometrica.

Un contributo significativo alla formazione della trigonometria fu dato dagli esperti arabi Al-Batani (850-929) e Abu-l-Wafa, Muhamed bin Muhamed (940-998), che raccolsero tavole di seni e tangenti utilizzando 10' con precisione fino a 1/604. Il teorema del seno era precedentemente conosciuto dal professore indiano Bhaskara (nato nel 1114, anno di morte sconosciuto) e dall'astrologo e scienziato azerbaigiano Nasireddin Tusi Muhamed (1201-1274). Inoltre, Nasireddin Tusi, nella sua opera “Lavoro sul quadrilatero completo”, ha descritto la trigonometria diretta e sferica come una disciplina indipendente (Fig. 4).

1.5. L'emergere di tangente e cotangente

Le tangenti sono sorte in connessione con la conclusione del problema di stabilire la lunghezza dell'ombra. La tangente (e anche la cotangente) fu stabilita nel X secolo dall'aritmetico arabo Abu-l-Wafa, che compilò le prime tabelle per trovare tangenti e cotangenti. Ma queste scoperte rimasero sconosciute agli scienziati europei per molto tempo, e le tangenti furono riscoperte solo nel XIV secolo dall'aritmetico e astronomo tedesco Regimontanus (1467). Ha sostenuto il teorema della tangente. Regiomontano compilò anche tavole trigonometriche dettagliate; Grazie ai suoi lavori la trigonometria piana e sferica divenne in Europa una disciplina indipendente.

La denominazione “tangente”, che deriva dal latino tanger (toccare), è nata nel 1583. Tangens è tradotto come “toccante” (la linea delle tangenti è tangente al cerchio unitario).
La trigonometria fu ulteriormente sviluppata nelle opere degli eccezionali astrologi Nicolaus Copernicus (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601) e Johannes Kepler (1571-1630), e anche nelle opere del matematico Francois Vieta (1540-1603), che ha risolto completamente il problema determinando assolutamente tutte le componenti di un triangolo piatto o sferico utilizzando tre dati (Fig. 4).

1.6 Ulteriore sviluppo della trigonometria

Per molto tempo la trigonometria ha avuto una forma esclusivamente geometrica, cioè i dati che attualmente formuliamo nelle definizioni delle funzioni trigonometriche sono stati formulati e argomentati con il supporto di concetti e affermazioni geometriche. In questo modo esisteva già nel Medioevo, anche se a volte venivano utilizzati anche metodi analitici, soprattutto dopo l'emergere dei logaritmi. Forse, i massimi incentivi per la formazione della trigonometria sono apparsi in connessione con la soluzione di problemi di astronomia, che hanno suscitato un enorme interesse positivo (ad esempio, per risolvere i problemi di determinazione della posizione di una nave, previsione di blackout, ecc.). Gli astrologi erano interessati alle relazioni tra i lati e gli angoli dei triangoli sferici. E gli aritmetici dell'antichità hanno affrontato con successo le domande poste.

A partire dal XVII secolo, le funzioni trigonometriche iniziarono ad essere utilizzate per risolvere equazioni, problemi di meccanica, ottica, elettricità, radioingegneria, per visualizzare azioni oscillatorie, propagazione delle onde, movimento di vari elementi, per studiare corrente galvanica alternata, ecc. Per questo motivo, le funzioni trigonometriche sono state studiate in modo completo e approfondito e hanno acquisito un significato significativo per l'intera matematica.

La teoria analitica delle funzioni trigonometriche fu creata principalmente dall'eccezionale matematico del XVIII secolo Leonhard Euler (1707-1783), membro dell'Accademia delle scienze di San Pietroburgo. L'enorme eredità scientifica di Eulero comprende risultati brillanti relativi all'analisi matematica, alla geometria, alla teoria dei numeri, alla meccanica e ad altre applicazioni della matematica. Fu Eulero il primo a introdurre le ben note definizioni di funzioni trigonometriche, a considerare funzioni di un angolo arbitrario e a ottenere formule di riduzione. Dopo Eulero, la trigonometria assunse la forma del calcolo infinitesimale: vari fatti iniziarono a essere dimostrati attraverso l'applicazione formale delle formule trigonometriche, le dimostrazioni divennero molto più compatte e semplici,

Pertanto, la trigonometria, nata come scienza della risoluzione dei triangoli, alla fine si sviluppò nella scienza delle funzioni trigonometriche.

Successivamente, la parte della trigonometria, che studia le proprietà delle funzioni trigonometriche e le dipendenze tra loro, cominciò a essere chiamata goniometria (tradotta come scienza della misurazione degli angoli, dal greco gwnia - angolo, meterw - io misuro). Il termine goniometria è stato raramente utilizzato recentemente.

2. Trigonometria e vita reale

La società moderna è caratterizzata da continui cambiamenti, scoperte e creazione di invenzioni high-tech che migliorano la nostra vita. La trigonometria incontra e interagisce con la fisica, la biologia, la matematica, la medicina, la geofisica, la navigazione, l'informatica.

Diamo un'occhiata alle interazioni in ciascun settore in ordine.

2.1.Navigazione

Il primo punto che ci spiega l'uso e i vantaggi della trigonometria è la sua connessione con la navigazione. Per navigazione intendiamo una scienza il cui obiettivo è studiare e creare i modi di navigazione più convenienti e utili. Pertanto, gli scienziati stanno sviluppando una navigazione semplice, che implica costruire un percorso da un punto a un altro, valutarlo e scegliere l'opzione migliore tra tutte quelle proposte. Queste rotte sono necessarie per i marittimi che, durante il loro viaggio, affrontano molte difficoltà, ostacoli e domande riguardanti lo svolgimento del viaggio. Anche la navigazione è necessaria: i piloti che pilotano aerei complessi e ad alta tecnologia navigano, a volte in situazioni molto estreme; cosmonauti il ​​cui lavoro comporta rischi per la vita, complessa costruzione di percorsi e il suo sviluppo. Studiamo i seguenti concetti e attività in modo più dettagliato. Come problema, possiamo immaginare la seguente condizione: conosciamo le coordinate geografiche: latitudine e longitudine tra i punti A e B sulla superficie terrestre. È necessario trovare il percorso più breve tra i punti A e B lungo la superficie terrestre (il raggio della terra è considerato noto: R = 6371 km).

Possiamo anche immaginare una soluzione a questo problema e cioè: innanzitutto chiariamo che la latitudine di un punto M sulla superficie terrestre è il valore dell'angolo formato dal raggio OM, dove O è il centro della Terra, con l'equatoriale piano: ≤ , e a nord dell'equatore la latitudine è considerata positiva, mentre a sud – negativa. Per la longitudine del punto M prenderemo il valore dell'angolo diedro passante nei piani COM e SON. Per C intendiamo il Polo Nord della Terra. Come H intendiamo il punto corrispondente all'Osservatorio di Greenwich: ≤ (a est del meridiano di Greenwich la longitudine è considerata positiva, a ovest - negativa). Come già sappiamo, la distanza più breve tra i punti A e B sulla superficie terrestre è rappresentata dalla lunghezza dell’arco più piccolo del cerchio massimo che collega A e B. Possiamo chiamare questo tipo di arco ortodromia. Tradotto dal greco, questo termine è inteso come un angolo retto. Per questo motivo, il nostro compito è determinare la lunghezza del lato AB del triangolo sferico ABC, dove C si riferisce alla polis settentrionale.

Un esempio interessante è il seguente. Quando si crea una rotta da parte dei velisti è necessario un lavoro preciso e minuzioso. Quindi, per tracciare la rotta della nave sulla mappa, realizzata nella proiezione di Gerhard Mercator nel 1569, era urgentemente necessario determinare la latitudine. Tuttavia, andando per mare, in località fino al XVII secolo, i navigatori non indicavano la latitudine. Edmond Gunther (1623) fu il primo a utilizzare i calcoli trigonometrici nella navigazione.

Con il suo aiuto, la trigonometria, i piloti potrebbero calcolare gli errori del vento per il controllo più accurato e sicuro dell'aereo. Per effettuare questi calcoli facciamo riferimento al triangolo della velocità. Questo triangolo esprime la velocità dell'aria risultante (V), il vettore del vento (W) e il vettore della velocità al suolo (Vp). PU è l'angolo di rotta, UV è l'angolo del vento, KUV è l'angolo di rotta del vento (Fig. 5).

Per familiarizzare con il tipo di relazione tra gli elementi del triangolo di navigazione delle velocità, devi guardare di seguito:

Vp =V cos US + W cos UV; peccato CV = * peccato CV, tg CV

Per risolvere il triangolo di navigazione delle velocità, vengono utilizzati dispositivi di calcolo utilizzando un righello di navigazione e calcoli mentali.

2.2.Algebra

La prossima area di interazione della trigonometria è l'algebra. È grazie alle funzioni trigonometriche che si risolvono equazioni e problemi molto complessi che richiedono calcoli di grandi dimensioni.

Come sappiamo, in tutti i casi in cui è necessario interagire con processi e oscillazioni periodiche, si arriva all'utilizzo delle funzioni trigonometriche. Non importa di cosa si tratti: acustica, ottica o oscillazione di un pendolo.

2.3.Fisica

Oltre alla navigazione e all'algebra, la trigonometria ha un'influenza e un impatto diretti sulla fisica. Quando gli oggetti sono immersi nell'acqua, non cambiano in alcun modo la loro forma o volume. Il segreto assoluto è un effetto visivo che costringe la nostra visione a percepire un oggetto in modo diverso. Semplici formule trigonometriche e i valori del seno dell'angolo di incidenza e di rifrazione di una semiretta permettono di calcolare l'indice di rifrazione costante quando un raggio luminoso passa da sfera a sfera. Ad esempio, l'arcobaleno appare perché la luce solare viene rifratta nelle gocce d'acqua sospese nell'aria secondo la legge della rifrazione:

peccato α / peccato β = n1 / n2

dove: n1 è l'indice di rifrazione del primo mezzo; n2 è l'indice di rifrazione del secondo mezzo; Angolo α di incidenza, angolo β di rifrazione della luce.

L'ingresso degli elementi carichi del vento solare negli strati superiori dell'atmosfera dei pianeti è causato dall'interazione del campo magnetico terrestre con il vento solare.

La forza che agisce su una particella carica che si muove in una regione magnetica è chiamata forza di Lorentz. È proporzionale alla carica della particella e al prodotto vettoriale del campo e alla velocità della particella.

Rivelando gli aspetti pratici dell'uso della trigonometria in fisica, daremo un esempio. Questo problema deve essere risolto utilizzando formule trigonometriche e metodi di soluzione. Condizioni problematiche: un corpo di 90 kg si trova su un piano inclinato con un angolo di 24,5°. È necessario trovare quale forza ha il corpo che esercita pressione sul piano inclinato (cioè quale pressione esercita il corpo su questo piano) (Fig. 6).

Dopo aver designato gli assi X e Y, iniziamo a costruire le proiezioni delle forze sull'asse, utilizzando prima questa formula:

ma = N + mg, quindi guarda la figura,

X: ma = 0 + mg sin24,50

Y: 0 = N – mg cos24,50

Sostituiamo la massa e troviamo che la forza è 819 N.

Risposta: 819 N

2.4.Medicina, biologia e bioritmi

La quarta area in cui la trigonometria ha un impatto e un aiuto maggiori è in due aree: medicina e biologia.

Una delle proprietà fondamentali della natura vivente è la natura ciclica della maggior parte dei processi che si verificano in essa. Esiste una connessione tra il movimento dei corpi celesti e gli organismi viventi sulla Terra. Gli organismi viventi non solo catturano la luce e il calore del Sole e della Luna, ma possiedono anche vari meccanismi che determinano con precisione la posizione del Sole, rispondono al ritmo delle maree, alle fasi lunari e al movimento del nostro pianeta.

I ritmi biologici, i bioritmi, sono cambiamenti più o meno regolari nella natura e nell'intensità dei processi biologici. La capacità di apportare tali cambiamenti nell'attività vitale è ereditaria e si trova in quasi tutti gli organismi viventi. Possono essere osservati in singole cellule, tessuti e organi, interi organismi e popolazioni. I bioritmi sono divisi in fisiologico, avente periodi da frazioni di secondo a diversi minuti e ambientale, durata che coincide con qualsiasi ritmo dell'ambiente. Questi includono ritmi giornalieri, stagionali, annuali, di marea e lunari. Il ritmo terrestre principale è quotidiano, determinato dalla rotazione della Terra attorno al proprio asse, quindi quasi tutti i processi in un organismo vivente hanno una periodicità quotidiana.

Molti fattori ambientali sul nostro pianeta, principalmente le condizioni di luce, la temperatura, la pressione e l'umidità dell'aria, i campi atmosferici ed elettromagnetici, le maree marine, cambiano naturalmente sotto l'influenza di questa rotazione.

Siamo costituiti per il settantacinque per cento da acqua, e se al momento della luna piena le acque degli oceani del mondo si alzano di 19 metri sopra il livello del mare e inizia la marea, allora anche l'acqua nel nostro corpo scorre verso le parti superiori del nostro corpo. E le persone con pressione alta spesso sperimentano esacerbazioni della malattia durante questi periodi, e i naturalisti che raccolgono erbe medicinali sanno esattamente in quale fase lunare raccogliere le "cime - (frutti)" e in quale - le "radici".

Hai notato che in certi periodi la tua vita fa dei balzi inspiegabili? All'improvviso, dal nulla, le emozioni traboccano. Aumenta la sensibilità, che può improvvisamente lasciare il posto alla completa apatia. Giornate creative e infruttuose, momenti felici e infelici, sbalzi d'umore improvvisi. È stato notato che le capacità del corpo umano cambiano periodicamente. Questa conoscenza è alla base della “teoria dei tre bioritmi”.

Bioritmo fisico – regola l’attività fisica. Durante la prima metà del ciclo fisico, una persona è energica e ottiene risultati migliori nelle sue attività (nella seconda metà l'energia lascia il posto alla pigrizia).

Ritmo emotivo: durante i periodi di attività, la sensibilità aumenta e l'umore migliora. Una persona diventa eccitabile di fronte a vari disastri esterni. Se è di buon umore costruisce castelli in aria, sogna di innamorarsi e si innamora. Quando il bioritmo emotivo diminuisce, la forza mentale diminuisce, il desiderio e l'umore gioioso scompaiono.

Bioritmo intellettuale - controlla la memoria, la capacità di apprendere e il pensiero logico. Nella fase di attività c'è un aumento, e nella seconda fase c'è un calo dell'attività creativa, non c'è fortuna e successo.

Teoria dei tre ritmi:

· Ciclo fisico - 23 giorni. Determina energia, forza, resistenza, coordinazione del movimento

· Ciclo emotivo - 28 giorni. Stato del sistema nervoso e umore

· Ciclo intellettuale - 33 giorni. Determina la capacità creativa dell'individuo

La trigonometria esiste anche in natura. Il movimento dei pesci nell'acqua avviene secondo la legge del seno o del coseno, se si fissa un punto sulla coda e poi si considera la traiettoria del movimento. Quando nuota, il corpo del pesce assume la forma di una curva che ricorda il grafico della funzione y=tgx.

Quando un uccello vola, la traiettoria del battito delle ali forma una sinusoide.

Trigonometria in medicina. Come risultato di uno studio condotto dallo studente iraniano dell'Università di Shiraz Vahid-Reza Abbasi, i medici sono stati in grado per la prima volta di organizzare le informazioni relative all'attività elettrica del cuore, o, in altre parole, all'elettrocardiografia.

La formula, denominata Teheran, è stata presentata alla comunità scientifica generale alla 14a conferenza di medicina geografica e poi alla 28a conferenza sull'uso della tecnologia informatica in cardiologia, tenutasi nei Paesi Bassi.

Questa formula è un'equazione algebrico-trigonometrica complessa composta da 8 espressioni, 32 coefficienti e 33 parametri principali, inclusi diversi parametri aggiuntivi per i calcoli in caso di aritmia. Secondo i medici, questa formula facilita enormemente il processo di descrizione dei principali parametri dell'attività cardiaca, accelerando così la diagnosi e l'inizio del trattamento stesso.

Molte persone devono fare un cardiogramma del cuore, ma pochi sanno che il cardiogramma del cuore umano è un grafico seno o coseno.

La trigonometria aiuta il nostro cervello a determinare le distanze dagli oggetti. Gli scienziati americani affermano che il cervello stima la distanza degli oggetti misurando l'angolo tra il piano terrestre e il piano visivo. Questa conclusione è stata raggiunta dopo una serie di esperimenti in cui ai partecipanti è stato chiesto di guardare il mondo che li circondava attraverso prismi che aumentavano questo angolo.

Questa distorsione ha portato al fatto che i portatori di prismi sperimentali percepivano gli oggetti distanti come più vicini e non potevano far fronte ai test più semplici. Alcuni partecipanti agli esperimenti si sono addirittura sporgeti in avanti, cercando di allineare i loro corpi perpendicolarmente alla superficie terrestre immaginata in modo errato. Tuttavia, dopo 20 minuti si sono abituati alla percezione distorta e tutti i problemi sono scomparsi. Questa circostanza indica la flessibilità del meccanismo attraverso il quale il cervello adatta il sistema visivo alle mutevoli condizioni esterne. È interessante notare che dopo la rimozione dei prismi, per qualche tempo è stato osservato l'effetto opposto: una sovrastima della distanza.

I risultati del nuovo studio, come si potrebbe supporre, interesseranno gli ingegneri che progettano sistemi di navigazione per robot, così come gli specialisti che lavorano alla creazione dei modelli virtuali più realistici. Sono possibili anche applicazioni nel campo della medicina, nella riabilitazione di pazienti con danni ad alcune aree del cervello.

2.5.Musica

Il campo musicale interagisce anche con la trigonometria.

Presento alla vostra attenzione informazioni interessanti su un certo metodo che fornisce accuratamente una connessione tra trigonometria e musica.

Questo metodo di analisi delle opere musicali è chiamato “teoria musicale geometrica”. Con il suo aiuto, le strutture e le trasformazioni musicali di base vengono tradotte nel linguaggio della geometria moderna.

Ogni nota nell'ambito della nuova teoria è rappresentata come un logaritmo della frequenza del suono corrispondente (la nota “Do” della prima ottava, ad esempio, corrisponde al numero 60, l'ottava al numero 12). La corda viene quindi rappresentata come un punto con coordinate date nello spazio geometrico. Gli accordi sono raggruppati in diverse "famiglie" che corrispondono a diverse tipologie di spazi geometrici.

Nello sviluppo di un nuovo metodo, gli autori hanno utilizzato 5 tipi noti di trasformazioni musicali che non erano state precedentemente prese in considerazione nella teoria musicale quando classificavano le sequenze sonore: permutazione di ottava (O), permutazione (P), trasposizione (T), inversione (I) e cambio di cardinalità (C) . Tutte queste trasformazioni, come scrivono gli autori, formano le cosiddette simmetrie OTTICHE nello spazio n-dimensionale e memorizzano informazioni musicali sull'accordo - in quale ottava si trovano le sue note, in quale sequenza vengono suonate, quante volte vengono ripetute, eccetera. Utilizzando le simmetrie OTTICHE vengono classificati gli accordi simili ma non identici e le loro sequenze.

Gli autori dell'articolo mostrano che varie combinazioni di queste 5 simmetrie formano molte strutture musicali diverse, alcune delle quali sono già conosciute nella teoria musicale (una sequenza di accordi, ad esempio, verrà espressa in nuovi termini come OPC), mentre altre sono fondamentalmente nuovi concetti che, forse, verranno adottati dai compositori del futuro.

Ad esempio, gli autori forniscono una rappresentazione geometrica di vari tipi di accordi di quattro suoni: un tetraedro. Le sfere sul grafico rappresentano i tipi di accordo, i colori delle sfere corrispondono alla dimensione degli intervalli tra i suoni dell'accordo: blu - intervalli piccoli, toni più caldi - suoni più “sparsi” dell'accordo. La sfera rossa è l'accordo più armonioso con intervalli uguali tra le note, popolare tra i compositori del XIX secolo.

Il metodo "geometrico" dell'analisi musicale, secondo gli autori dello studio, può portare alla creazione di strumenti musicali fondamentalmente nuovi e nuovi modi di visualizzare la musica, nonché ad apportare modifiche ai metodi moderni di insegnamento della musica e ai modi di studiare vari stili musicali (classica, pop, rock), musica, ecc.). La nuova terminologia aiuterà anche a confrontare più approfonditamente le opere musicali di compositori di epoche diverse e a presentare i risultati della ricerca in una forma matematica più conveniente. In altre parole, si propone di isolare la loro essenza matematica dalle opere musicali.

Frequenze corrispondenti alla stessa nota nella prima, seconda, ecc. ottave, riferirsi come 1:2:4:8... Secondo le leggende tramandate dai tempi antichi, i primi che tentarono di farlo furono Pitagora e i suoi discepoli.

Scala diatonica 2:3:5 (Fig. 8).

2.6.Informatica

La trigonometria, con la sua influenza, non ha scavalcato l’informatica. Pertanto, le sue funzioni sono applicabili per calcoli accurati. Grazie a questo punto possiamo approssimare qualsiasi funzione (in un certo senso “buona”) espandendola in una serie di Fourier:

a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + a3 cos 3x + b3 sin 3x + ...

Il processo di selezione di un numero nel modo più appropriato, i numeri a0, a1, b1, a2, b2, ..., può essere rappresentato sotto forma di tale somma (infinita) da quasi tutte le funzioni in un computer con il precisione richiesta.

La trigonometria svolge un ruolo serio e aiuta nello sviluppo e nel processo di lavoro con le informazioni grafiche. Se è necessario simulare un processo, con una descrizione in formato elettronico, con la rotazione di un determinato oggetto attorno ad un determinato asse. Una rotazione avviene ad un certo angolo. Per determinare le coordinate dei punti, dovrai moltiplicare per seno e coseno.

Possiamo quindi citare l'esempio di Justin Windell, programmatore e designer che lavora presso Google Grafika Lab. Ha pubblicato una demo che mostra un esempio di utilizzo delle funzioni trigonometriche per creare animazioni dinamiche.

2.7 Sfera di costruzione e geodesia

Un ramo interessante che interagisce con la trigonometria è il campo della costruzione e della geodesia. Le lunghezze dei lati e i valori degli angoli di un triangolo arbitrario sul piano sono legati tra loro da alcune relazioni, le più importanti delle quali sono chiamate teoremi del coseno e del seno. Le formule contenenti a, b, c implicano che le lettere sono rappresentate dai lati del triangolo, che si trovano rispettivamente opposti agli angoli A, B, C. Queste formule consentono ai tre elementi del triangolo: le lunghezze dei lati e degli angoli - ripristinare i restanti tre elementi. Sono utilizzati per risolvere problemi pratici, ad esempio nella geodesia.

Tutta la geodesia “classica” si basa sulla trigonometria. Poiché, infatti, fin dall'antichità i geometri si sono interessati a “risolvere” i triangoli.

Il processo di costruzione di edifici, binari, ponti e altri edifici inizia con il lavoro di rilievo e progettazione. Tutte le misurazioni in cantiere, senza eccezione, vengono effettuate con il supporto di strumenti geodetici, come la stazione totale e la livella trigonometrica. Durante il livellamento trigonometrico, viene determinata la differenza di altezza tra diversi punti sulla superficie terrestre.

2.8 Trigonometria nell'arte e nell'architettura

Da quando l'uomo ha iniziato ad esistere sulla terra, la scienza è diventata la base per migliorare la vita quotidiana e altri ambiti della vita. Le basi di tutto ciò che è stato creato dall'uomo sono varie aree delle scienze naturali e matematiche. Uno di questi è la geometria. L'architettura non è l'unico campo della scienza in cui vengono utilizzate formule trigonometriche. La maggior parte delle decisioni compositive e della costruzione dei disegni sono avvenute proprio con l'ausilio della geometria. Ma i dati teorici significano poco. Consideriamo un esempio della costruzione di una scultura di un maestro francese dell'età dell'oro dell'arte.

Il rapporto proporzionale nella costruzione della statua era ideale. Tuttavia, quando la statua fu sollevata su un alto piedistallo, sembrava brutta. Lo scultore non ha tenuto conto del fatto che in prospettiva, verso l'orizzonte, molti dettagli si riducono e guardando dal basso verso l'alto non si crea più l'impressione della sua idealità. Sono stati effettuati molti calcoli per garantire che la figura da una grande altezza sembrasse proporzionale. Si basavano principalmente sul metodo di avvistamento, cioè sulla misurazione approssimativa a occhio. Tuttavia, il coefficiente di differenza di alcune proporzioni ha permesso di avvicinare la figura all'ideale. Quindi, conoscendo la distanza approssimativa dalla statua al punto di vista, cioè dalla sommità della statua agli occhi della persona e l'altezza della statua, possiamo calcolare il seno dell'angolo di incidenza dello sguardo utilizzando una tabella, trovando così il punto di vista (Fig. 9).

Nella Figura 10 la situazione cambia, poiché la statua viene elevata ad un'altezza AC e NS aumenta, possiamo calcolare i valori del coseno dell'angolo C, e dalla tabella troveremo l'angolo di incidenza dello sguardo. Nel processo, puoi calcolare AN, così come il seno dell'angolo C, che ti consentirà di verificare i risultati utilizzando l'identità trigonometrica di base cos 2 a+ peccato 2 un = 1.

Confrontando le misurazioni AN nel primo e nel secondo caso, si può trovare il coefficiente di proporzionalità. Successivamente riceveremo un disegno e poi una scultura, una volta sollevata la figura sarà visivamente più vicina all'ideale

Edifici iconici in tutto il mondo sono stati progettati grazie alla matematica, che può essere considerata il genio dell’architettura. Alcuni esempi famosi di tali edifici: la Scuola per bambini Gaudi a Barcellona, ​​il grattacielo Mary Axe a Londra, l'azienda vinicola Bodegas Isios in Spagna, il ristorante a Los Manantiales in Argentina. Durante la progettazione di questi edifici è stata coinvolta la trigonometria.

Conclusione

Dopo aver studiato gli aspetti teorici e applicati della trigonometria, mi sono reso conto che questo ramo è strettamente correlato a molte scienze. All'inizio, la trigonometria era necessaria per creare e effettuare misurazioni tra gli angoli. Tuttavia, successivamente la semplice misurazione degli angoli si trasformò in una scienza a tutti gli effetti che studiava le funzioni trigonometriche. Possiamo identificare i seguenti ambiti in cui esiste una stretta connessione tra la trigonometria e la fisica dell'architettura, della natura, della medicina e della biologia.

Così, grazie alle funzioni trigonometriche in medicina, è stata scoperta la formula del cuore, che è una complessa uguaglianza algebrico-trigonometrica, composta da 8 espressioni, 32 coefficienti e 33 parametri fondamentali, inclusa la possibilità di calcoli aggiuntivi in ​​caso di aritmia. Questa scoperta aiuta i medici a fornire cure mediche più qualificate e di alta qualità.

Notiamo anche. che tutta la geodesia classica si basa sulla trigonometria. Poiché, infatti, fin dall'antichità i geometri sono stati impegnati a “risolvere” i triangoli. Il processo di costruzione di edifici, strade, ponti e altre strutture inizia con il lavoro di rilievo e progettazione. Tutte le misurazioni in cantiere vengono effettuate utilizzando strumenti topografici come il teodolite e la livella trigonometrica. Con il livellamento trigonometrico viene determinata la differenza di altezza tra diversi punti sulla superficie terrestre.

Conoscendo la sua influenza in altre aree, possiamo concludere che la trigonometria influenza attivamente la vita umana. La connessione tra la matematica e il mondo esterno ci consente di “materializzare” la conoscenza degli scolari. Grazie a ciò, possiamo percepire e assimilare più adeguatamente le conoscenze e le informazioni che ci vengono insegnate a scuola.

L'obiettivo del mio progetto è stato completato con successo. Ho studiato l'influenza della trigonometria nella vita e lo sviluppo dell'interesse per essa.

Per raggiungere questo obiettivo, abbiamo completato le seguenti attività:

1. Abbiamo conosciuto la storia della formazione e dello sviluppo della trigonometria;

2. Esempi considerati dell'influenza pratica della trigonometria in vari campi di attività;

3. Ha mostrato con esempi le possibilità della trigonometria e la sua applicazione nella vita umana.

Studiare la storia di questo settore aiuterà a suscitare interesse tra gli scolari, a formare la giusta visione del mondo e a migliorare la cultura generale degli studenti delle scuole superiori.

Questo lavoro sarà utile per gli studenti delle scuole superiori che non hanno ancora visto la bellezza della trigonometria e non hanno familiarità con le aree della sua applicazione nella vita che li circonda.

Bibliografia

Glazer G.I.

Glazer G.I.

Rybnikov K.A.

Bibliografia

UN. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsin et al. “Algebra e gli inizi dell'analisi” Libro di testo per le classi 10-11 degli istituti di istruzione generale, M., Prosveshchenie, 2013.

Glazer G.I. Storia della matematica a scuola: classi VII-VIII. - M.: Educazione, 2012.

Glazer G.I. Storia della matematica a scuola: classi IX-X. - M.: Educazione, 2013.

Rybnikov K.A. Storia della matematica: libro di testo. - M.: Casa editrice dell'Università statale di Mosca, 1994. Olehnik Problemi di algebra, trigonometria e funzioni elementari / Olehnik, S.N. E. - M.: Scuola Superiore, 2016. - 134 p.

Olehnik, S.N. Problemi di algebra, trigonometria e funzioni elementari / S.N. Olehnik. - M.: Scuola Superiore, 2013. - 645 p.

Potapov, M.K. Algebra, trigonometria e funzioni elementari / M.K. Potapov. - M.: Scuola superiore, 2014. - 586 p.

Potapov, M.K. Algebra. Trigonometria e funzioni elementari / M.K. Potapov, V.V. Aleksandrov, P.I. Pasichenko. - M.: [non specificato], 2015. - 762 p.

Allegato 1

Fig. 1Immagine piramidale. Calcolo della pendenza B / H.

Altre sezioni

Parola "trigonometria" trovato per la prima volta (1505) nel titolo di un libro del teologo e matematico tedesco Pitiscus. L'origine di questa parola è greca: xpiyrovov - triangolo, tsetreso - misura. In altre parole, la trigonometria è la scienza della misurazione dei triangoli. Anche se il nome è nato relativamente di recente, molti concetti e fatti oggi legati alla trigonometria erano conosciuti già duemila anni fa.

Il concetto ha una lunga storiaseno In effetti, già nel III secolo furono trovati vari rapporti tra i segmenti di un triangolo e un cerchio (e, in sostanza, funzioni trigonometriche). AVANTI CRISTO e. nelle opere dei grandi matematici dell'antica Grecia: Euclide, Archimede, Apollonio di Perga. Durante il periodo romano, queste relazioni furono già studiate in modo abbastanza sistematico da Menelao (I secolo d.C.), sebbene non acquisissero un nome speciale.

Nel periodo successivo, la matematica fu sviluppata più attivamente da scienziati indiani e arabi per lungo tempo. Nei secoli IV-V. In particolare, un termine speciale apparve nelle opere di astronomia del grande scienziato indiano Aryabhata (476 - ca. 550), da cui prese il nome il primo satellite indiano della Terra. Chiamò il segmento ardhajiva.

Successivamente fu adottato il nome più breve jiva. Matematici arabi nel IX secolo. la parola jiva (o jiba) fu sostituita dalla parola araba jaib (convessità). Durante la traduzione di testi matematici arabi nel XII secolo. questa parola è stata sostituita dal latinoseno (seno - curvatura, curvatura).

La parola coseno è molto più giovane.Coseno è un'abbreviazione dell'espressione latina complementy sinus, cioè “seno aggiuntivo” (o altrimenti “seno di un arco aggiuntivo”; si ricordi cos a = sin (90° - a)).

Tangenti è nato in connessione con la risoluzione del problema di determinare la lunghezza di un'ombra. La tangente (così come cotangente, secante e cosecante) fu introdotta nel X secolo. Il matematico arabo Abul-Wafa, che compilò le prime tabelle per trovare tangenti e cotangenti. Tuttavia, queste scoperte rimasero sconosciute agli scienziati europei per molto tempo e le tangenti furono riscoperte nel XIV secolo. prima dallo scienziato inglese T. Braverdin, e poi dal matematico e astronomo tedesco Regiomontanus (1467).

Il nome “tangente”, derivato dal latino tanger (toccare), apparve nel 1583. Tangens è tradotto come “toccante” (la linea tangente è tangente al cerchio unitario).

Denominazioni modernearcosen e arctg compaiono nel 1772 nelle opere del matematico viennese Scherfer e del famoso scienziato francese Lagrange, anche se qualche tempo prima erano già stati considerati da J. Bernoulli, che utilizzava un simbolismo diverso. Ma questi simboli furono generalmente accettati solo alla fine del XVIII secolo. Il prefisso "arco" deriva dal latino arcus(arco, arco), il che è del tutto coerente con il significato del concetto: arcsin x, ad esempio, è un angolo (e si potrebbe dire un arco), il cui seno è uguale a x.

Per molto tempo la trigonometria si è sviluppata come parte della geometria. Forse i maggiori incentivi per lo sviluppo della trigonometria sorsero in relazione alla soluzione di problemi di astronomia, che erano di grande interesse pratico (ad esempio, per risolvere problemi di determinazione della posizione di una nave, previsione di eclissi, ecc.).

Gli astronomi erano interessati alle relazioni tra i lati e gli angoli dei triangoli sferici costituiti da cerchi massimi giacenti su una sfera.

In ogni caso, in forma geometrica, molte formule trigonometriche furono scoperte e riscoperte dagli antichi matematici greci, indiani e arabi. (È vero, le formule per la differenza delle funzioni trigonometriche divennero note solo nel XVII secolo: furono derivate dal matematico inglese Napier per semplificare i calcoli con funzioni trigonometriche. E il primo disegno di un'onda sinusoidale apparve nel 1634.)

Di fondamentale importanza fu la compilazione della prima tavola dei seni da parte di C. Tolomeo (per lungo tempo fu chiamata tavola degli accordi): apparve un mezzo pratico per risolvere una serie di problemi applicati, e principalmente problemi di astronomia.

La forma moderna della trigonometria fu data dal più grande matematico del XVIII secolol . Eulero(1707-1783), svizzero di nascita, lavorò per molti anni in Russia e fu membro dell'Accademia delle scienze di San Pietroburgo. Fu Eulero il primo a introdurre le ben note definizioni di funzioni trigonometriche, a considerare funzioni di un angolo arbitrario e a ottenere formule di riduzione. Tutto questo è una piccola parte di ciò che Eulero riuscì a fare in matematica nel corso della sua lunga vita: scrisse oltre 800 articoli e dimostrò molti teoremi divenuti classici, relativi a vari ambiti della matematica. (Nonostante Eulero perse la vista nel 1776, continuò a dettare sempre più opere fino ai suoi ultimi giorni.)

Dopo Eulero, la trigonometria acquisì la forma del calcolo: vari fatti iniziarono a essere dimostrati attraverso l'applicazione formale delle formule trigonometriche, le dimostrazioni divennero molto più compatte e semplici.

L'ambito della trigonometria copre una varietà di aree della matematica, alcune sezioni delle scienze naturali e della tecnologia.

La trigonometria ha diverse varietà:

La trigonometria sferica si occupa dello studio dei triangoli sferici.


La trigonometria rettilinea o piana di solito studia i triangoli.

Gli antichi scienziati greci ed ellenistici svilupparono in modo significativo la trigonometria. Tuttavia, nelle opere di Euclide e Archimede, la trigonometria è presentata in forma geometrica. I teoremi sulla lunghezza delle corde vengono applicati alle leggi dei seni. E il teorema di Archimede sulla divisione degli accordi corrisponde alle formule dei seni della somma e della differenza degli angoli.

Attualmente i matematici utilizzano una nuova notazione dei teoremi conosciuti, ad esempio sin α/ sin β< α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, тем самым, компенсируют недостатки таблиц хорд, времен Аристарха Самосского.

Si suppone che siano state compilate le prime tavole trigonometriche Ipparco di Nicea, che è giustamente considerato il “padre della trigonometria”. A lui viene attribuita la creazione di una tabella riassuntiva delle grandezze degli archi e delle corde per una serie di angoli. Inoltre, fu Ipparco di Nicea che per primo iniziò ad utilizzare un cerchio di 360°.

Claudio Tolomeo sviluppò e ampliò in modo significativo gli insegnamenti di Ipparco. Il teorema di Tolomeo afferma: la somma dei prodotti dei lati opposti di un quadrilatero ciclico è uguale al prodotto delle diagonali. Una conseguenza del teorema di Tolomeo fu la comprensione dell'equivalenza delle quattro formule di somma e differenza per seno e coseno. Inoltre, Tolomeo derivò la formula per il semiangolo. Tolomeo utilizzò tutti i suoi risultati nella compilazione di tabelle trigonometriche. Sfortunatamente, fino ad oggi non è sopravvissuta una sola tavola trigonometrica autentica di Ipparco e Tolomeo.

I calcoli trigonometrici hanno trovato la loro applicazione in quasi tutti i settori della geometria, della fisica e dell'ingegneria.
Utilizzando la trigonometria (tecnica di triangolazione), è possibile misurare le distanze tra le stelle, tra i punti di riferimento geografici e controllare i sistemi di navigazione satellitare.

La trigonometria viene utilizzata con successo nella tecnologia della navigazione, teoria musicale, acustica, ottica, nell'analisi dei mercati finanziari, elettronica, teoria della probabilità, statistica, biologia e medicina, chimica e teoria dei numeri (crittografia), sismologia, meteorologia, oceanologia, cartografia, topografia e geodesia, architettura e fonetica, ingegneria meccanica e computer grafica e.

TRIGONOMETRIA– (dal greco trigwnon – triangolo e meterw – misura) – disciplina matematica che studia le relazioni tra gli angoli e i lati dei triangoli e le funzioni trigonometriche.

Il termine "trigonometria" fu introdotto nel 1595 dal matematico e teologo tedesco Bartolomeo Pitiscus, autore di un libro di testo sulla trigonometria e sulle tavole trigonometriche. Entro la fine del XVI secolo. La maggior parte delle funzioni trigonometriche erano già note, sebbene il concetto stesso non esistesse ancora.

In trigonometria esistono tre tipi di relazioni: 1) tra le funzioni trigonometriche stesse; 2) tra gli elementi di un triangolo piano (trigonometria su un piano); 3) tra gli elementi di un triangolo sferico, cioè una figura scolpita su una sfera da tre piani passanti per il suo centro. La trigonometria è iniziata proprio con la parte più complessa, sferica. È nato principalmente da esigenze pratiche. Gli antichi osservavano il movimento dei corpi celesti. Gli scienziati hanno elaborato i dati di misurazione per mantenere un calendario e determinare correttamente l'ora di inizio della semina e della raccolta, nonché le date delle festività religiose. Le stelle venivano utilizzate per calcolare la posizione di una nave in mare o la direzione di movimento di una carovana nel deserto. Anche gli astrologi osservano il cielo stellato da tempo immemorabile.

Naturalmente tutte le misurazioni relative alla posizione dei luminari nel cielo sono misurazioni indirette. Linee dirette potevano essere tracciate solo sulla superficie della Terra, ma anche qui non era sempre possibile determinare direttamente la distanza tra alcuni punti e quindi si ricorreva nuovamente a misurazioni indirette. Ad esempio, calcolavano l'altezza di un albero confrontando la lunghezza della sua ombra con la lunghezza dell'ombra di un palo di cui si conosceva l'altezza. La dimensione dell'isola nel mare è stata calcolata in modo simile. Tali problemi si riducono all'analisi di un triangolo, in cui alcuni dei suoi elementi si esprimono attraverso altri. Questo è ciò che fa la trigonometria. E poiché gli antichi vedevano le stelle e i pianeti come punti sulla sfera celeste, fu la trigonometria sferica che per prima cominciò a svilupparsi. Era considerato una branca dell'astronomia.

E tutto è iniziato molto tempo fa. Le prime informazioni frammentarie sulla trigonometria furono conservate su tavolette cuneiformi dell'antica Babilonia. Gli astronomi della Mesopotamia impararono a prevedere la posizione della Terra e del Sole, e fu da loro che venne a noi il sistema di misurazione degli angoli in gradi, minuti e secondi, perché i Babilonesi adottarono un sistema numerico sessagesimale.

Tuttavia, i primi risultati veramente importanti appartenevano agli antichi scienziati greci. Ad esempio, il 12° e il 13° teorema del secondo libro Iniziò Euclide (fine IV-III secolo a.C.) esprime essenzialmente il teorema del coseno. Nel 2 ° secolo. AVANTI CRISTO. l'astronomo Ipparco di Nicea (180–125 aC) compilò una tabella per determinare le relazioni tra gli elementi dei triangoli. Tali tabelle sono necessarie perché i valori delle funzioni trigonometriche non possono essere calcolati dai loro argomenti utilizzando operazioni aritmetiche. Le funzioni trigonometriche dovevano essere calcolate in anticipo e memorizzate in tabelle. Ipparco calcolò la lunghezza delle corde in un cerchio di un dato raggio, corrispondente a tutti gli angoli da 0 a 180°, multipli di 7,5°. Essenzialmente, questa è una tabella dei seni. Le opere di Ipparco non ci sono pervenute, ma molte delle informazioni da esse contenute sono incluse Almagesto(II secolo) - una famosa opera in 13 libri dell'astronomo e matematico greco Claudio Tolomeo (morto intorno al 160 d.C.). Gli antichi greci non conoscevano seni, coseni e tangenti; al posto delle tabelle di queste quantità utilizzavano tabelle che permettevano di trovare la corda di un cerchio lungo un arco sotteso. IN Almagesto l'autore fornisce una tabella delle lunghezze delle corde di un cerchio di raggio di 60 unità, calcolate a passi di 0,5° con una precisione di 1/3600 di unità, e spiega come è stata compilata tale tabella. Il lavoro di Tolomeo servì come introduzione alla trigonometria per gli astronomi per diversi secoli.

Per capire come gli antichi scienziati compilavano le tabelle trigonometriche, è necessario conoscere il metodo di Tolomeo. Il metodo si basa sul teorema: il prodotto delle diagonali di un quadrilatero inscritto in un cerchio è uguale alla somma dei prodotti dei suoi lati opposti.

Permettere ABCD quadrilatero inscritto , ANNO DOMINI - diametro di un cerchio e un punto O– il suo centro (Fig. 1). Se sai come calcolare gli accordi che sottendono gli angoli DOC= un e DOB = b, cioè lato CD e diagonale B, quindi, secondo il teorema di Pitagora, dai triangoli rettangoli AVV E ADC possono essere trovati AB e AC, e poi, secondo il teorema di Tolomeo, - AVANTI CRISTO. = (AC· ВD – АВ· CD) /ANNO DOMINI, cioè. corda che sottende un angolo VOS= b - UN. Alcuni accordi, come i lati di un quadrato, di un esagono regolare e di un ottagono corrispondenti ad angoli di 90, 60 e 45°, sono facili da determinare. È noto anche il lato di un pentagono regolare, che sottende un arco di 72°. La regola precedente consente di calcolare accordi per differenze di questi angoli, ad esempio per 12° = 72° – 60°. Inoltre si possono trovare corde di semiangoli, ma questo non è sufficiente per calcolare a quanto equivale la corda di un arco di 1°, se non altro perché tutti questi angoli sono multipli di 3°. Per l'accordo 1°, Tolomeo trovò una stima, mostrando che è più di 2/3 dell'accordo (3/2)° e inferiore a 4/3 dell'accordo (3/4)° - due numeri che coincidono con sufficiente precisione per le sue tabelle.

Se i Greci calcolavano gli accordi dagli angoli, allora gli astronomi indiani nelle opere del IV-V secolo. passò ai semicordi del doppio arco, cioè esattamente alle linee del seno (Fig. 2). Usavano anche le linee del coseno - o meglio, non il coseno stesso, ma il seno "invertito", che in seguito ricevette il nome "seno-contro" in Europa; ora questa funzione è uguale a 1 - cos a, non più utilizzato. Successivamente, lo stesso approccio portò alla definizione delle funzioni trigonometriche in termini di rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo.

Per unità di misura dei segmenti deputato,OPERAZIONE,PAPÀè stato rilevato il minuto d'arco. Quindi, la linea sinusoidale dell'arco AB= 90° sì O.B.– raggio del cerchio; arco AL, pari al raggio, contiene (arrotondato) 57°18" = 3438".

Le tavole indiane dei seni giunte fino a noi (la più antica fu compilata nel IV-V secolo d.C.) non sono così accurate come quelle tolemaiche; sono composti ad intervalli di 3°45" (cioè a 1/24 dell'arco del quadrante).

I termini “seno” e “coseno” derivano dagli indiani, ma non senza un curioso malinteso. Gli indiani chiamavano la mezza corda "ardhajiva" (tradotto dal sanscrito come "metà della corda dell'arco"), e poi abbreviarono questa parola in "jiva". Gli astronomi e i matematici musulmani, che ricevettero la conoscenza della trigonometria dagli indiani, la presero come "jiba", e poi si trasformò in "jaib", che in arabo significa "convessità", "seno". Infine, nel VII sec. "strambata" è stato letteralmente tradotto in latino come "sinus" , che non aveva nulla a che fare con il concetto che denota. Il sanscrito “kotijiva” è il seno del resto (fino a 90°), e in latino è sinus complementi, cioè complemento seno, nel XVII secolo. abbreviato nella parola "coseno". I nomi "tangente" e "secante" (tradotto dal latino significa "tangente" e "secante") furono introdotti nel 1583 dallo scienziato tedesco Fink.

Gli scienziati arabi, come Al-Battani (900 d.C. circa), diedero un grande contributo allo sviluppo della trigonometria. Nel X secolo Lo scienziato di Baghdad Muhammad di Bujan, noto come Abu-l-Vefa (940–997), aggiunse linee di tangenti, cotangenti, secanti e cosecanti alle linee di seni e coseni. Dà loro le stesse definizioni contenute nei nostri libri di testo. Abul-Vefa stabilisce anche le relazioni fondamentali tra queste linee.

Quindi, entro la fine del X secolo. gli scienziati del mondo islamico già operavano, insieme a seno e coseno, con altre quattro funzioni: tangente, cotangente, secante e cosecante; scoprì e dimostrò diversi importanti teoremi di trigonometria piana e sferica; utilizzavano un cerchio di raggio unitario (che permetteva di interpretare le funzioni trigonometriche in senso moderno); inventò il triangolo polare di un triangolo sferico. I matematici arabi compilavano tabelle precise, ad esempio tabelle di seni e tangenti con un passo di 1" e una precisione di 1/700.000.000. Un compito applicativo molto importante era questo: imparare a determinare la direzione verso la Mecca per le cinque preghiere quotidiane, ovunque il musulmano lo era.

Ha avuto un'influenza particolarmente grande sullo sviluppo della trigonometria. Trattato del Quadrilatero Completo astronomo Nasir-ed-Din di Tus (1201–1274), noto anche come at-Tusi. Questa fu la prima opera al mondo in cui la trigonometria fu trattata come una branca indipendente della matematica.

Nel 12 ° secolo Dall'arabo al latino furono tradotte numerose opere astronomiche, attraverso le quali gli europei conobbero per la prima volta la trigonometria.

Il trattato di Nasir-ed-Din fece una grande impressione sull'astronomo e matematico tedesco Johann Muller (1436–1476). I contemporanei lo conoscevano meglio sotto il nome Regiomontana (così viene tradotto in latino il nome della sua città natale, Konigsberg, ora Kaliningrad). Regiomontano compilò ampie tabelle dei seni (1 minuto alla settima cifra significativa). Per la prima volta si discostò dalla divisione sessagesimale del radio e prese una decimilionesima parte del raggio come unità di misura della linea senologica. Pertanto, i seni sono stati espressi come numeri interi e non come frazioni sessagesimali. L’introduzione dei decimali era solo ad un passo, ma ci sono voluti più di 100 anni. Regione del Lavoro Cinque libri sui triangoli di tutti i tipi ha svolto nella matematica europea lo stesso ruolo del lavoro di Nasir-ed-Din nella scienza dei paesi musulmani.

Alle tavole di Regiomontano ne seguirono numerose altre, ancor più dettagliate. L'amico di Copernico, Retico (1514–1576), insieme a diversi assistenti, lavorò per 30 anni alle tavole completate e pubblicate nel 1596 dal suo allievo Otto. Gli angoli misuravano 10" e il raggio era diviso in 1.000.000.000.000.000 di parti, in modo che i seni avessero 15 cifre corrette.

L'ulteriore sviluppo della trigonometria seguì il percorso dell'accumulazione e della sistematizzazione delle formule, del chiarimento dei concetti di base e dello sviluppo della terminologia e della notazione. Molti matematici europei lavorarono nel campo della trigonometria. Tra loro ci sono grandi scienziati come Nicolaus Copernicus (1473–1543), Tycho Brahe (1546–1601) e Johannes Kepler (1571–1630). François Viète (1540–1603) integrò e sistematizzò vari casi di risoluzione di triangoli piani e sferici, scoprì il teorema del coseno “piatto” e le formule per le funzioni trigonometriche di più angoli. Isaac Newton (1643–1727) espanse queste funzioni in serie e aprì la strada al loro utilizzo nell'analisi matematica. Leonhard Euler (1707–1783) introdusse sia il concetto di funzione che il simbolismo oggi accettato. Le quantità peccano X,così X eccetera. considerava una funzione del numero X– misura in radianti dell'angolo corrispondente. Eulero diede il numero X tutti i tipi di significati: positivi, negativi e persino complessi. Scoprì anche la connessione tra le funzioni trigonometriche e l'esponente di un argomento complesso, che permise di trasformare numerose e spesso molto complesse formule trigonometriche in semplici conseguenze delle regole per l'addizione e la moltiplicazione dei numeri complessi. Ha anche introdotto le funzioni trigonometriche inverse.

Entro la fine del XVIII secolo. la trigonometria come scienza ha già preso forma. Le funzioni trigonometriche hanno trovato applicazione nell'analisi matematica, fisica, chimica, ingegneria - ovunque si abbia a che fare con processi periodici e oscillazioni - che si tratti di acustica, ottica o oscillazione di un pendolo.

Risolvere qualsiasi triangolo alla fine si riduce a risolvere i triangoli rettangoli (cioè quelli in cui uno degli angoli è un angolo retto). Poiché tutti i triangoli rettangoli con un dato angolo acuto sono simili tra loro, i rapporti dei rispettivi lati sono gli stessi. Ad esempio, in un triangolo rettangolo ABC il rapporto tra i suoi due lati, ad esempio, gamba UN all'ipotenusa Con, dipende, ad esempio, dalla dimensione di uno degli angoli acuti UN. Vengono chiamati i rapporti tra le diverse coppie di lati di un triangolo rettangolo funzioni trigonometriche il suo angolo acuto. Esistono sei di tali relazioni in un triangolo e ad esse corrispondono sei funzioni trigonometriche (designazioni dei lati e degli angoli del triangolo in Fig. 3).

Perché UN + IN= 90°, quindi

peccato UN= cos B= cos(90° – UN),

UN=ctg B= ctg (90° – UN).

Dalle definizioni seguono diverse uguaglianze che collegano tra loro funzioni trigonometriche dello stesso angolo:

Tenendo conto del teorema di Pitagora UN 2 + B 2 = C 2, puoi esprimere tutte e sei le funzioni attraverso una sola. Ad esempio, seno e coseno sono legati dall'identità trigonometrica di base

peccato 2 UN+cos2 UN = 1.

Alcune relazioni tra le funzioni:

Queste formule sono valide anche per le funzioni trigonometriche di qualsiasi angolo, ma devono essere usate con attenzione, poiché i lati destro e sinistro possono avere domini di definizione diversi.

Esistono solo due triangoli rettangoli in cui entrambi gli angoli sono “buoni” (espressi in un numero intero o razionale di gradi) e almeno uno dei rapporti tra i lati è razionale. Questo è un triangolo isoscele (con angoli di 45, 45 e 90°) e mezzo triangolo equilatero (con angoli di 30, 60, 90°) - questi sono esattamente i due casi in cui è possibile calcolare i valori delle funzioni trigonometriche direttamente per definizione. Questi valori sono riportati nella tabella

TRIGONOMETRIA NELLA NOSTRA VITA

Molte persone chiedono: perché è necessaria la trigonometria? Come viene utilizzato nel nostro mondo? A cosa può essere correlata la trigonometria? Ed ecco le risposte a queste domande. La trigonometria o funzioni trigonometriche vengono utilizzate in astronomia (soprattutto per calcolare le posizioni degli oggetti celesti) quando è richiesta la trigonometria sferica, nella navigazione marittima e aerea, nella teoria musicale, nell'acustica, nell'ottica, nell'analisi dei mercati finanziari, nell'elettronica, nella probabilità teoria, in statistica, biologia, imaging medico come tomografia computerizzata e ultrasuoni, farmacia, chimica, teoria dei numeri, sismologia, meteorologia, oceanografia, molte scienze fisiche, agrimensura e topografia, architettura, fonetica, in economia, in ingegneria elettrica, in ingegneria meccanica, ingegneria civile, computer grafica, cartografia, cristallografia, sviluppo di giochi e molti altri campi.

Geodesia

I geometri spesso hanno a che fare con seni e coseni. Hanno strumenti speciali per misurare con precisione gli angoli. Utilizzando seni e coseni, gli angoli possono essere convertiti in lunghezze o coordinate di punti sulla superficie terrestre.

Astronomia antica

Gli inizi della trigonometria si possono trovare nei manoscritti matematici dell'antico Egitto, Babilonia e dell'antica Cina. Il 56° problema del papiro Rhinda (II millennio aC) suggerisce di trovare l'inclinazione di una piramide la cui altezza è di 250 cubiti e la lunghezza del lato di base è di 360 cubiti.

L'ulteriore sviluppo della trigonometria è associato al nome dell'astronomo Aristarco Samo (III secolo a.C.). Il suo trattato “Sulle grandezze e distanze del Sole e della Luna” pose il problema della determinazione delle distanze dei corpi celesti; questo problema richiedeva il calcolo del rapporto tra i lati di un triangolo rettangoloper un valore noto di uno degli angoli. Aristarco considerava il triangolo rettangolo formato da Sole, Luna e Terra durante una quadratura. Doveva calcolare il valore dell'ipotenusa (la distanza dalla Terra al Sole) attraverso il cateto (la distanza dalla Terra alla Luna) con un valore noto dell'angolo adiacente (87°), che equivale a calcolare il valorepeccato dell'angolo 3. Secondo Aristarco questo valore è compreso tra 1/20 e 1/18, cioè la distanza dal Sole è 20 volte maggiore di quella dalla Luna; il Sole, infatti, è quasi 400 volte più lontano della Luna, errore causato da un'imprecisione nella misurazione dell'angolo.

Diversi decenni dopo Claudio Tolomeo nelle sue opere “Geografia”, “Analemma” e “Planispherium” presenta dettagliatamente le applicazioni trigonometriche alla cartografia, all'astronomia e alla meccanica. Tra le altre cose, è descrittoproiezione stereografica, sono stati studiati diversi problemi pratici, ad esempio: la determinazione dell'altitudine e dell'azimutcorpo celeste secondo lui declinazione e angolo orario. In termini di trigonometria, ciò significa che devi trovare il lato di un triangolo sferico dagli altri due lati e l'angolo opposto.

· determinare con precisione l'ora del giorno;

· calcoli della posizione futura dei corpi celesti, i momenti della loro alba e tramonto, eclissi solari e la Luna;

· trovare le coordinate geografiche della posizione attuale;

· calcolo della distanza tra le città conosciute coordinate geografiche.

Lo gnomone è il più antico strumento astronomico, un oggetto verticale (stele, colonna, palo),

La lunghezza della sua ombra (a mezzogiorno) determina l'altezza angolare del sole.

Pertanto, per cotangente si intendeva la lunghezza dell'ombra di uno gnomone verticale con un'altezza di 12 (a volte 7) unità; inizialmente questi concetti venivano utilizzati per calcolare le meridiane. La tangente era l'ombra di uno gnomone orizzontale. La cosecante e la secante erano le ipotenuse dei corrispondenti triangoli rettangoli (segmenti AO nella figura a sinistra)

Architettura

La trigonometria è ampiamente utilizzata nell'edilizia e soprattutto in architettura. La maggior parte delle soluzioni e costruzioni compositive

I disegni sono stati realizzati proprio con l'aiuto della geometria. Ma i dati teorici significano poco. Vorrei fare un esempio della costruzione di una scultura di un maestro francese dell'età dell'oro dell'arte.

Il rapporto proporzionale nella costruzione della statua era ideale. Tuttavia, quando la statua fu sollevata su un alto piedistallo, sembrava brutta. Lo scultore non ha tenuto conto del fatto che in prospettiva, verso l'orizzonte, molti dettagli si riducono e guardando dal basso verso l'alto non si crea più l'impressione della sua idealità. È stata effettuata

molti calcoli per far sembrare la figura proporzionale da una grande altezza. Si basavano principalmente sul metodo di avvistamento, cioè sulla misurazione approssimativa a occhio. Tuttavia, il coefficiente di differenza di alcune proporzioni ha permesso di avvicinare la figura all'ideale. Pertanto, conoscendo la distanza approssimativa dalla statua al punto di vista, cioè dalla sommità della statua agli occhi della persona e l'altezza della statua, possiamo calcolare il seno dell'angolo di incidenza della vista utilizzando una tabella ( possiamo fare lo stesso con il punto di vista inferiore), trovando così il punto di visione

La situazione cambia man mano che la statua viene sollevata in altezza, quindi aumenta la distanza dalla sommità della statua agli occhi della persona, e quindi aumenta il seno dell’angolo di incidenza. Confrontando le variazioni della distanza dalla sommità della statua al suolo nel primo e nel secondo caso, possiamo trovare il coefficiente di proporzionalità. Successivamente riceveremo un disegno e poi una scultura, una volta sollevata la figura sarà visivamente più vicina all'ideale

Medicina e biologia.

Modello del Bohritmo può essere costruito utilizzando funzioni trigonometriche. Per costruire un modello bioritmico è necessario inserire la data di nascita della persona, la data di riferimento (giorno, mese, anno) e la durata prevista (numero di giorni).

Formula del cuore. Risultato di uno studio condotto da uno studente universitario iraniano Shiraz di Vahid-Reza Abbasi, Per la prima volta i medici hanno potuto organizzare le informazioni relative all'attività elettrica del cuore o, in altre parole, all'elettrocardiografia. La formula è una complessa equazione algebrico-trigonometrica composta da 8 espressioni, 32 coefficienti e 33 parametri principali, inclusi diversi parametri aggiuntivi per i calcoli in caso di aritmia. Secondo i medici, questa formula facilita enormemente il processo di descrizione dei principali parametri dell'attività cardiaca, accelerando così la diagnosi e l'inizio del trattamento stesso.

La trigonometria aiuta anche il nostro cervello a determinare le distanze dagli oggetti.

Gli scienziati americani affermano che il cervello stima la distanza degli oggetti misurando l'angolo tra il piano terrestre e il piano visivo. A rigor di termini, l’idea di “misurare gli angoli” non è nuova. Perfino gli artisti dell'antica Cina dipingevano oggetti distanti più in alto nel campo visivo, trascurando in qualche modo le leggi della prospettiva. La teoria della determinazione della distanza stimando gli angoli fu formulata dallo scienziato arabo dell'XI secolo Alhazen. Dopo un lungo periodo di oblio a metà del secolo scorso, l'idea è stata ripresa dallo psicologo James

Gibson (James Gibson), che ha basato le sue conclusioni sulla base della sua esperienza di lavoro con i piloti dell'aviazione militare. Tuttavia, dopo quello sulla teoria

nuovamente dimenticato.

Movimento dei pesci all'interno acqua avviene secondo la legge del seno o del coseno, se si fissa un punto sulla coda e poi si considera la traiettoria del movimento. Quando nuota, il corpo del pesce prende forma

una curva che assomiglia al grafico della funzione y=tgx.

Lavoro di misurazione