बीजगणितीय भिन्नों का गुणनफल एक द्विपद का वर्ग होता है। बीजगणितीय भिन्नों को जोड़ना और घटाना

संक्षिप्त अभिव्यक्ति सूत्र अक्सर अभ्यास में उपयोग किए जाते हैं, इसलिए उन सभी को याद करने की सलाह दी जाती है। इस क्षण तक, यह ईमानदारी से हमारी सेवा करेगा, जिसे हम प्रिंट करके हर समय आपकी आंखों के सामने रखने की सलाह देते हैं:

संक्षिप्त गुणन सूत्रों की संकलित तालिका से पहले चार सूत्र आपको दो अभिव्यक्तियों के योग या अंतर को वर्ग और घन करने की अनुमति देते हैं। पांचवें का उद्देश्य दो भावों के अंतर और योग को संक्षेप में गुणा करना है। और छठे और सातवें सूत्र का उपयोग दो भावों a और b के योग को उनके अंतर के अपूर्ण वर्ग से गुणा करने के लिए किया जाता है (इसे a 2 −a b+b 2 के रूप की अभिव्यक्ति कहा जाता है) और दो के अंतर को गुणा करने के लिए किया जाता है अभिव्यक्ति a और b को क्रमशः उनके योग के अपूर्ण वर्ग (a 2 + a·b+b 2 ) द्वारा।

यह अलग से ध्यान देने योग्य है कि तालिका में प्रत्येक समानता एक पहचान है। यह बताता है कि संक्षिप्त गुणन सूत्रों को संक्षिप्त गुणन सर्वसमिकाएँ भी क्यों कहा जाता है।

उदाहरणों को हल करते समय, विशेष रूप से जिसमें बहुपद को गुणनखंडित किया जाता है, एफएसयू का उपयोग अक्सर बाएँ और दाएँ पक्षों की अदला-बदली के रूप में किया जाता है:

तालिका में अंतिम तीन पहचानों के अपने नाम हैं। सूत्र a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) कहलाता है वर्गों का अंतर सूत्र, ए 3 +बी 3 =(ए+बी)·(ए 2 −ए·बी+बी 2) - घन सूत्र का योग, ए a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - घन सूत्र का अंतर. कृपया ध्यान दें कि हमने पिछली तालिका से पुनर्व्यवस्थित भागों के साथ संबंधित सूत्रों का नाम नहीं दिया है।

अतिरिक्त सूत्र

संक्षिप्त गुणन सूत्रों की तालिका में कुछ और सर्वसमिकाएँ जोड़ने से कोई नुकसान नहीं होगा।

संक्षिप्त गुणन सूत्र (एफएसयू) और उदाहरणों के अनुप्रयोग के क्षेत्र

संक्षिप्त गुणन सूत्रों (एफएसयू) का मुख्य उद्देश्य उनके नाम से समझाया गया है, यानी इसमें संक्षिप्त रूप से गुणा करने वाले भाव शामिल हैं। हालाँकि, एफएसयू के अनुप्रयोग का दायरा बहुत व्यापक है, और यह छोटे गुणन तक सीमित नहीं है। आइए मुख्य दिशाओं की सूची बनाएं।

निस्संदेह, संक्षिप्त गुणन सूत्र का केंद्रीय अनुप्रयोग भावों के समान रूपांतरण करने में पाया गया। प्रक्रिया में अक्सर इन सूत्रों का उपयोग किया जाता है अभिव्यक्ति को सरल बनाना.

उदाहरण।

व्यंजक 9·y−(1+3·y) 2 को सरल कीजिए।

समाधान।

इस अभिव्यक्ति में, वर्ग को संक्षिप्त रूप में निष्पादित किया जा सकता है, हमारे पास है 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). जो कुछ बचा है वह कोष्ठक खोलना और समान शब्द लाना है: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

सच कहूँ तो, ये ऐसे सूत्र हैं जिन्हें सातवीं कक्षा के किसी भी छात्र को याद रखना चाहिए। स्कूल स्तर पर भी बीजगणित का अध्ययन करना और वर्गों के अंतर या कहें कि किसी राशि के वर्ग का सूत्र न जानना बिल्कुल असंभव है। वे बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने, भिन्नों को कम करने और अंकगणितीय गणनाओं में भी मदद करते समय हर समय दिखाई देते हैं। खैर, उदाहरण के लिए, आपको अपने दिमाग में गणना करने की आवश्यकता है: 3.16 2 - 2 3.16 1.16 + 1.16 2। यदि आप सीधे तौर पर इसकी गणना करना शुरू करेंगे, तो यह लंबी और उबाऊ हो जाएगी, लेकिन यदि आप वर्ग अंतर सूत्र का उपयोग करेंगे, तो आपको 2 सेकंड में उत्तर मिल जाएगा!

तो, "स्कूल" बीजगणित के सात सूत्र जो हर किसी को जानना चाहिए:

कृपया ध्यान दें: वर्गों के योग का कोई सूत्र नहीं है! अपनी कल्पना को बहुत दूर न जाने दें.

इन सभी फॉर्मूलों को याद करने का सबसे आसान तरीका क्या है? ठीक है, मान लीजिए, कुछ उपमाएँ देखें। उदाहरण के लिए, वर्ग योग का सूत्र वर्ग अंतर के सूत्र के समान है (अंतर केवल एक चिह्न में है), और योग के घन का सूत्र अंतर के घन के सूत्र के समान है। इसके अलावा, घनों और घनों के योग के अंतर के सूत्रों में, हम योग के वर्ग और अंतर के वर्ग के समान कुछ देखते हैं (केवल गुणांक 2 गायब है)।

लेकिन ये सूत्र (किसी भी अन्य की तरह!) व्यवहार में सबसे अच्छे से याद किए जाते हैं। बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाने के और उदाहरण हल करें, सभी सूत्र स्वयं याद हो जायेंगे।

जिज्ञासु छात्र संभवतः प्रस्तुत तथ्यों को संक्षेप में प्रस्तुत करने में रुचि लेंगे। उदाहरण के लिए, किसी राशि के वर्ग और घन के लिए सूत्र होते हैं। यदि हम (ए + बी) 4, (ए + बी) 5 और सम (ए + बी) एन जैसे भावों पर विचार करें, जहां एन एक मनमाना प्राकृतिक संख्या है, तो क्या होगा? क्या यहां कोई पैटर्न देखना संभव है?

हाँ, ऐसा पैटर्न मौजूद है। (A + B) n के रूप की अभिव्यक्ति को न्यूटन का द्विपद कहा जाता है। मेरा सुझाव है कि जिज्ञासु स्कूली बच्चे स्वयं (ए + बी) 4 और (ए + बी) 5 के लिए सूत्र निकालें, और फिर सामान्य नियम देखने का प्रयास करें: उदाहरण के लिए, संबंधित द्विपद की डिग्री और प्रत्येक की डिग्री की तुलना करें। कोष्ठक खोलने पर जो पद प्राप्त होते हैं; द्विपद की घात की तुलना पदों की संख्या से कर सकेंगे; गुणांकों में पैटर्न खोजने का प्रयास करें। हम अभी इस विषय पर गहराई से विचार नहीं करेंगे (इसके लिए एक अलग बातचीत की आवश्यकता है!), लेकिन केवल अंतिम परिणाम ही लिखेंगे:

(ए + बी) एन = ए एन + सी एन 1 ए एन-1 बी + सी एन 2 ए एन-2 बी 2 + ... + सी एन के ए एन-के बी के + ... + बी एन।

यहाँ C n k = n!/(k! (n-k)!)।

मैं आपको याद दिलाता हूं कि एन! - यह 1 2 ... n है - 1 से n तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल। इस अभिव्यक्ति को कहा जाता है n का भाज्य. उदाहरण के लिए, 4! = 1 2 3 4 = 24. शून्य का भाज्य एक के बराबर माना जाता है!

वर्गों के अंतर, घनों के अंतर आदि के बारे में क्या कहा जा सकता है? क्या यहां कोई पैटर्न है? क्या A n - B n के लिए कोई सामान्य सूत्र देना संभव है?

हाँ तुम कर सकते हो। यहाँ सूत्र है:

ए एन - बी एन = (ए - बी)(ए एन-1 + ए एन-2 बी + ए एन-3 बी 2 + ... + बी एन-1)।

इसके अलावा, के लिए विषमडिग्री n योग के लिए एक समान सूत्र है:

ए एन + बी एन = (ए + बी)(ए एन-1 - ए एन-2 बी + ए एन-3 बी 2 - ... + बी एन-1)।

हम इन सूत्रों को अभी नहीं निकालेंगे (वैसे, यह बहुत कठिन नहीं है), लेकिन उनके अस्तित्व के बारे में जानना निश्चित रूप से उपयोगी है।

साधारण भिन्न.

बीजगणितीय भिन्नों को जोड़ना

याद करना!

आप केवल समान हर वाले भिन्नों को ही जोड़ सकते हैं!

आप रूपांतरण के बिना भिन्न नहीं जोड़ सकते

आप भिन्न जोड़ सकते हैं

समान हर वाली बीजगणितीय भिन्नों को जोड़ते समय:

1. पहले भिन्न का अंश दूसरे भिन्न के अंश में जोड़ा जाता है;
2. हर वही रहता है.

आइए बीजीय भिन्नों को जोड़ने का एक उदाहरण देखें।

चूँकि दोनों भिन्नों का हर "2a" है, इसका अर्थ है कि भिन्नों को जोड़ा जा सकता है।

आइए पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश के साथ जोड़ें और हर को वही छोड़ दें। परिणामी अंश में भिन्न जोड़ते समय, हम समान अंश प्रस्तुत करते हैं।

बीजगणितीय भिन्नों को घटाना

समान हर वाली बीजगणितीय भिन्नों को घटाते समय:

1. दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटा दिया जाता है।
2. हर वही रहता है.

महत्वपूर्ण!

जिस भिन्न को आप घटा रहे हैं उसका पूरा अंश कोष्ठक में शामिल करना सुनिश्चित करें।

अन्यथा, जिस अंश को आप घटा रहे हैं, उसके कोष्ठक खोलते समय आप संकेतों में गलती कर देंगे।

आइए बीजीय भिन्नों को घटाने का एक उदाहरण देखें।

चूँकि दोनों बीजगणितीय भिन्नों का हर "2c" है, इसका मतलब है कि इन भिन्नों को घटाया जा सकता है।

दूसरे भिन्न "(a - b)" के अंश को पहले भिन्न "(a + d)" के अंश से घटाएँ। जिस भिन्न को आप घटा रहे हैं उसका अंश कोष्ठक में डालना न भूलें। कोष्ठक खोलते समय, हम कोष्ठक खोलने के नियम का उपयोग करते हैं।

बीजगणितीय भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना

आइए एक और उदाहरण देखें. आपको बीजगणितीय भिन्न जोड़ने की आवश्यकता है।

भिन्नों को इस रूप में नहीं जोड़ा जा सकता क्योंकि उनके हर अलग-अलग होते हैं।

बीजगणितीय भिन्नों को जोड़ने से पहले, उन्हें अवश्य जोड़ना चाहिए एक सामान्य विभाजक पर लाएँ.

बीजगणितीय भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाने के नियम, साधारण भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाने के नियमों के बहुत समान हैं। .

परिणामस्वरूप, हमें एक बहुपद प्राप्त होना चाहिए जो भिन्नों के पिछले हरों में से प्रत्येक में शेषफल के बिना विभाजित हो जाएगा।

को बीजगणितीय भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाएँआपको निम्नलिखित कार्य करने की आवश्यकता है.

1. हम संख्यात्मक गुणांकों के साथ काम करते हैं। हम सभी संख्यात्मक गुणांकों के लिए एलसीएम (न्यूनतम सामान्य गुणक) निर्धारित करते हैं।
2. हम बहुपदों के साथ काम करते हैं। हम सभी विभिन्न बहुपदों को सबसे बड़ी घातों में परिभाषित करते हैं।
3. संख्यात्मक गुणांक और सबसे बड़ी घात वाले सभी विभिन्न बहुपदों का गुणनफल सामान्य हर होगा।
4. निर्धारित करें कि एक सामान्य हर प्राप्त करने के लिए आपको प्रत्येक बीजीय भिन्न को किससे गुणा करना होगा।

आइए अपने उदाहरण पर वापस लौटें।

दोनों भिन्नों के हर "15ए" और "3" पर विचार करें और उनके लिए एक सामान्य हर खोजें।

1. हम संख्यात्मक गुणांकों के साथ काम करते हैं। एलसीएम खोजें (सबसे छोटा सामान्य गुणक एक संख्या है जो बिना किसी शेषफल के प्रत्येक संख्यात्मक गुणांक से विभाज्य है)। "15" और "3" के लिए यह "15" है।
2. हम बहुपदों के साथ काम करते हैं। सभी बहुपदों को महानतम घातों में सूचीबद्ध करना आवश्यक है। हर में "15ए" और "5" ही हैं
   एकपदी - "ए"।
3. आइए चरण 1 "15" से एलसीएम और चरण 2 से एकपदी "ए" को गुणा करें। हमें "15ए" मिलता है। यह सामान्य भाजक होगा.
4. प्रत्येक भिन्न के लिए, हम स्वयं से प्रश्न पूछते हैं: "15ए" प्राप्त करने के लिए हमें इस भिन्न के हर को किससे गुणा करना चाहिए?"

आइए पहले अंश को देखें. इस भिन्न में पहले से ही "15a" का हर है, जिसका अर्थ है कि इसे किसी भी चीज़ से गुणा करने की आवश्यकता नहीं है।

आइए दूसरे अंश पर नजर डालें। आइए प्रश्न पूछें: "15a" प्राप्त करने के लिए आपको "3" को किससे गुणा करने की आवश्यकता है?" उत्तर "5ए" है।

किसी भिन्न को सामान्य हर में कम करते समय, "5a" से गुणा करें अंश और हर दोनों.

एक बीजीय भिन्न को एक सामान्य हर में घटाने का संक्षिप्त रूप "घरों" का उपयोग करके लिखा जा सकता है।

ऐसा करने के लिए, सामान्य विभाजक को ध्यान में रखें। प्रत्येक भिन्न के ऊपर "घर में" हम लिखते हैं कि हम प्रत्येक भिन्न को किससे गुणा करते हैं।

अब चूँकि भिन्नों के हर समान हैं, तो भिन्नों को जोड़ा जा सकता है।

आइए अलग-अलग हर वाले भिन्नों को घटाने का एक उदाहरण देखें।

दोनों भिन्नों के हर "(x − y)" और "(x + y)" पर विचार करें और उनके लिए उभयनिष्ठ हर खोजें।

हमारे पास हर में दो अलग-अलग बहुपद हैं "(x − y)" और "(x + y)"। उनका उत्पाद सामान्य विभाजक होगा, अर्थात। “(x − y)(x + y)” सामान्य विभाजक है।

संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके बीजीय भिन्नों को जोड़ना और घटाना

कुछ उदाहरणों में, बीजीय भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग किया जाना चाहिए।

आइए बीजीय भिन्नों को जोड़ने का एक उदाहरण देखें, जहां हमें वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होगी।

पहले बीजगणितीय भिन्न में हर "(p 2 − 36)" है। जाहिर है, इसमें वर्गों के अंतर का फॉर्मूला लागू किया जा सकता है.

बहुपद "(p 2 − 36)" को बहुपद के गुणनफल में विघटित करने के बाद
“(p + 6)(p − 6)” से यह स्पष्ट है कि बहुपद “(p + 6)” भिन्नों में दोहराया जाता है। इसका मतलब यह है कि भिन्नों का उभयनिष्ठ हर बहुपद "(p + 6)(p − 6)" का गुणनफल होगा।

इस लेख में हम देखेंगे बीजगणितीय भिन्नों के साथ बुनियादी संक्रियाएँ:

• अंशों को कम करना
• भिन्नों को गुणा करना
• भिन्नों को विभाजित करना

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं बीजगणितीय भिन्नों की कमी.

ऐसा प्रतीत होगा कि, कलन विधिज़ाहिर।

को बीजगणितीय भिन्नों को कम करें, करने की जरूरत है

1. भिन्न के अंश और हर का गुणनखंड करें।

2. समान गुणनखंडों को कम करें।

हालाँकि, स्कूली बच्चे अक्सर कारकों को नहीं, बल्कि शर्तों को "कम" करने की गलती करते हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे शौकीन लोग हैं जो भिन्नों को "कम" करते हैं और परिणामस्वरूप परिणाम प्राप्त करते हैं, जो निश्चित रूप से सच नहीं है।

आइए उदाहरण देखें:

1. अंश कम करें:

1. आइए हम योग के वर्ग के सूत्र का उपयोग करके अंश का गुणनखंड करें, और वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करके हर का गुणनखंड करें।

2. अंश और हर को इससे विभाजित करें

2. अंश कम करें:

1. आइए अंश का गुणनखंड करें। चूँकि अंश में चार पद होते हैं, हम समूहन का उपयोग करते हैं।

2. आइए हर का गुणनखंड करें। हम ग्रुपिंग का भी उपयोग कर सकते हैं।

3. आइए जो भिन्न हमें प्राप्त हुआ उसे लिखें और समान गुणनखंडों को घटाएं:

बीजगणितीय भिन्नों को गुणा करना.

बीजीय भिन्नों को गुणा करते समय, हम अंश को अंश से गुणा करते हैं, और हर को हर से गुणा करते हैं।

महत्वपूर्ण!भिन्न के अंश और हर को गुणा करने के लिए जल्दबाजी करने की कोई आवश्यकता नहीं है। जब हमने भिन्नों के अंशों के गुणनफल को अंश में और हरों के गुणनफल को हर में लिख लिया है, तो हमें प्रत्येक कारक का गुणनखंड करना होगा और भिन्न को कम करना होगा।

आइए उदाहरण देखें:

3. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1. आइए भिन्नों का गुणनफल लिखें: अंश में अंशों का गुणनफल, और हर में हरों का गुणनफल:

2. आइए प्रत्येक कोष्ठक का गुणनखंड करें:

अब हमें उन्हीं कारकों को कम करने की जरूरत है।' ध्यान दें कि अभिव्यक्तियाँ और केवल संकेत में भिन्न हैं: और पहले व्यंजक को दूसरे से भाग देने पर हमें -1 प्राप्त होता है।

इसलिए,

हम बीजीय भिन्नों को निम्नलिखित नियम के अनुसार विभाजित करते हैं:

वह है भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको "उल्टे" से गुणा करना होगा।

हम देखते हैं कि भिन्नों को विभाजित करने से गुणन होता है, और गुणन अंततः भिन्नों को कम करने में आता है।

आइए एक उदाहरण देखें:

4. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

इस पाठ में समान हर वाले बीजगणितीय भिन्नों को जोड़ना और घटाना शामिल होगा। हम पहले से ही जानते हैं कि समान हर वाली सामान्य भिन्नों को कैसे जोड़ा और घटाया जाता है। यह पता चला है कि बीजगणितीय भिन्न समान नियमों का पालन करते हैं। समान हर वाली भिन्नों के साथ काम करना सीखना, बीजगणितीय भिन्नों के साथ काम करना सीखने की आधारशिलाओं में से एक है। विशेष रूप से, इस विषय को समझने से अधिक जटिल विषय - विभिन्न हर वाले भिन्नों को जोड़ना और घटाना - में महारत हासिल करना आसान हो जाएगा। पाठ के भाग के रूप में, हम समान हर वाले बीजगणितीय भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियमों का अध्ययन करेंगे, और कई विशिष्ट उदाहरणों का भी विश्लेषण करेंगे।

समान हर वाली बीजगणितीय भिन्नों को जोड़ने और घटाने का नियम

स्फ़ोर-मु-ली-रु-एम प्रा-वि-लो स्लो-ज़े-निया (यू-ची-ता-निया) अल-गेब-रा-आई-चे-स्किह फ्रैक्शन्स फ्रॉम वन-ऑन-टू-यू -मी मुझे जानें-ना-ते-ला-मील (यह सामान्य शॉट-बीट्स के लिए समान नियम से मेल खाता है): यह एक-से-आप के साथ अल-गेब-रा-ए-चे-स्किह अंशों को जोड़ने या गणना करने के लिए है नो-मी-ऑन-द-ला-मी आवश्यक -हो-दी-मो-संख्याओं का एक संगत अल-गेब-रा-आई-चे-योग संकलित करें, और साइन-मी-ना-टेल बिना किसी के छोड़ दें।

हम इस नियम को साधारण वेन-ड्रॉ के उदाहरण और अल-गेब-रा-आई-चे-ड्रॉ हिट दोनों के लिए समझते हैं।

साधारण भिन्नों के लिए नियम लागू करने के उदाहरण

उदाहरण 1. भिन्न जोड़ें: .

समाधान

आइए भिन्नों की संख्या जोड़ें, और चिह्न को वही छोड़ दें। इसके बाद, हम संख्या को विघटित करते हैं और सरल गुणन और संयोजन में हस्ताक्षर करते हैं। चलो इसे हासिल करते है: .

ध्यान दें: एक मानक त्रुटि जिसे समान प्रकार के उदाहरणों को हल करते समय अनुमति दी जाती है, निम्नलिखित संभावित समाधान में शामिल है: . यह एक बड़ी गलती है, क्योंकि चिह्न वही रहता है जो मूल भिन्नों में था।

उदाहरण 2. भिन्न जोड़ें: .

समाधान

यह किसी भी तरह से पिछले वाले से अलग नहीं है: .

बीजगणितीय भिन्नों के लिए नियम लागू करने के उदाहरण

सामान्य ड्रो-बीट्स से, हम अल-गेब-रा-ए-चे-स्किम की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 3. भिन्न जोड़ें: .

समाधान: जैसा कि पहले ही ऊपर उल्लेख किया गया है, अल-गेब-रा-ए-चे-फ्रेक्शन की संरचना किसी भी तरह से सामान्य शॉट-फ़ाइट्स के समान शब्द से अलग नहीं है। इसलिए, समाधान विधि वही है: .

उदाहरण 4. आप भिन्न हैं: .

समाधान

अल-गेब-रा-ए-चे-स्किह अंशों के यू-ची-ता-नी को केवल इस तथ्य से जोड़ा जाता है कि संख्या pi-sy-va-et-sya में प्रयुक्त अंशों की संख्या में अंतर होता है। इसीलिए ।

उदाहरण 5. आप एक भिन्न हैं: .

समाधान: ।

उदाहरण 6. सरल करें: .

समाधान: ।

कमी के बाद नियम लागू करने के उदाहरण

जिस भिन्न में जोड़ या गणना के परिणाम में समान अर्थ हो, उसमें संयोजन संभव है। इसके अलावा, आपको अल-गेब-रा-आई-चे-स्किह अंशों के ओडीजेड के बारे में नहीं भूलना चाहिए।

उदाहरण 7. सरल करें: .

समाधान: ।

वहीं . सामान्य तौर पर, यदि प्रारंभिक अंशों का ODZ कुल के ODZ के साथ मेल खाता है, तो इसे छोड़ा जा सकता है (आखिरकार, अंश उत्तर में हो रहा है, संबंधित महत्वपूर्ण परिवर्तनों के साथ भी मौजूद नहीं होगा)। लेकिन यदि प्रयुक्त भिन्नों का ODZ और उत्तर मेल नहीं खाता है, तो ODZ को इंगित करना आवश्यक है।

उदाहरण 8. सरल करें: .

समाधान: । उसी समय, y (प्रारंभिक अंशों का ODZ परिणाम के ODZ से मेल नहीं खाता)।

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को जोड़ना और घटाना

अल-गेब-रा-आई-चे-अंशों को अलग-अलग जानने-पर-द-ला-मील के साथ जोड़ने और पढ़ने के लिए, हम साधारण-वेन-एनवाई अंशों के साथ एना-लो-गियू करते हैं और इसे अल में स्थानांतरित करते हैं -गेब-रा-आई-चे-अंश।

आइए साधारण भिन्नों के लिए सबसे सरल उदाहरण देखें।

उदाहरण 1।भिन्न जोड़ें: .

समाधान:

आइए भिन्नों को जोड़ने के नियम याद रखें। आरंभ करने के लिए, एक भिन्न को एक सामान्य चिह्न पर लाना होगा। आप साधारण भिन्नों के लिए सामान्य चिह्न की भूमिका में कार्य करते हैं न्यूनतम समापवर्तक(एनओके) प्रारंभिक संकेत।

परिभाषा

सबसे छोटी संख्या, जो एक ही समय में संख्याओं और में विभाजित हो जाती है।

एनओसी खोजने के लिए, ज्ञान को सरल सेटों में विभाजित करना आवश्यक है, और फिर उन सभी चीजों का चयन करें जो कई हैं, जो दोनों संकेतों के विभाजन में शामिल हैं।

; . फिर संख्याओं के एलसीएम में दो दो और दो तीन शामिल होने चाहिए:।

सामान्य ज्ञान प्राप्त करने के बाद, प्रत्येक अंश के लिए पूर्ण बहुलता निवासी को ढूंढना आवश्यक है (वास्तव में, सामान्य चिह्न को संबंधित अंश के चिह्न पर डालना)।

फिर प्रत्येक भिन्न को आधे-पूर्ण गुणनखंड से गुणा किया जाता है। आइए उनमें से कुछ भिन्न प्राप्त करें जिन्हें आप जानते हैं, उन्हें जोड़ें और पढ़ें - पिछले पाठों में पढ़ा गया।

चलो खाते हैं: .

उत्तर:.

आइए अब विभिन्न चिह्नों के साथ अल-गेब-रा-ए-चे-अंशों की संरचना को देखें। आइए अब भिन्नों को देखें और देखें कि क्या कोई संख्याएँ हैं।

विभिन्न हर वाले बीजगणितीय भिन्नों को जोड़ना और घटाना

उदाहरण 2.भिन्न जोड़ें: .

समाधान:

पिछले उदाहरण के लिए निर्णय की अल-गो-लय अब-सो-ल्युट-लेकिन एना-लो-गि-चेन। दिए गए भिन्नों का सामान्य चिह्न लेना आसान है: और उनमें से प्रत्येक के लिए अतिरिक्त गुणक।

.

उत्तर:.

तो चलिए बनाते हैं विभिन्न चिह्नों के साथ अल-गेब-रा-आई-चे-स्किह अंशों के जोड़ और गणना की अल-गो-लय:

1. भिन्न का सबसे छोटा उभयनिष्ठ चिह्न ज्ञात कीजिए।

2. प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणक खोजें (वास्तव में, चिह्न का सामान्य चिह्न -वां अंश दिया गया है)।

3. संगत अप-टू-पूर्ण गुणन पर अप-टू-अनेक संख्याएँ।

4. संयोजन के नियमों का उपयोग करके भिन्नों को जोड़ें या उनकी गणना करें और समान ज्ञान के साथ भिन्नों की गणना करें -me-na-te-la-mi।

आइए अब भिन्नों के साथ एक उदाहरण देखें, जिसके चिह्न में आप -निया अक्षर हैं।