दो चर वाले समीकरण का ग्राफ़. समीकरणों की प्रणाली

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। इनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलों में भी किया जाता है। प्राचीन काल में मनुष्य ने समीकरणों का प्रयोग किया और तब से इनका प्रयोग बढ़ता ही गया।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की अवधारणा का अर्थ है सभी जड़ों को निर्धारित करना, यानी वे मान, जो उन्हें सिस्टम में प्रतिस्थापित करने के बाद, एक समीकरण को एक पहचान में बनाते हैं। समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया जा सकता है:

* प्रतिस्थापन विधि. इस पद्धति में यह तथ्य शामिल है कि समीकरण को हल करने के लिए 1 चर को व्यक्त करना और दूसरे समीकरण में इस चर के स्थान पर परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। 1 अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त करने के बाद, आप इसे आसानी से हल कर सकते हैं और दूसरे चर का मान पता कर सकते हैं;

* सिस्टम विभाजन विधि. इस विधि में सिस्टम के समीकरणों में से एक को इस तरह से फैक्टर करना शामिल है कि दाईं ओर \ है, तब से प्रत्येक फैक्टर \ के बराबर है और, मूल सिस्टम के शेष समीकरणों को जोड़ने पर, हमें कई सिस्टम मिलते हैं, जिनमें से प्रत्येक जो मूल की तुलना में सरल होगा;

* जोड़ और घटाव विधि. नाम ही इस विधि के सार के बारे में बहुत कुछ बताता है। सिस्टम के 2 समीकरणों को जोड़ने या घटाने से, हमें मूल सिस्टम के समीकरणों में से एक को बदलने के लिए एक नया समीकरण प्राप्त होता है;

*भाग एवं गुणन विधि। विधि का सार एक नया समीकरण प्राप्त करने और मूल प्रणाली के समीकरणों में से एक को इसके साथ बदलने के लिए सिस्टम के दो समीकरणों के बाएं और दाएं पक्षों को क्रमशः विभाजित/गुणा करना है।

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आप 7वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में पहले ही मिल चुके हैं, लेकिन ये केवल एक विशेष प्रकार की प्रणालियाँ थीं - दो चर वाले दो रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ। 8वीं कक्षा में, आपने एक चर वाले तर्कसंगत समीकरणों को हल करना सीखा, जिसका अर्थ है कि आप दो चर वाले तर्कसंगत समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के बारे में सोच सकते हैं, खासकर जब से ऐसी प्रणालियाँ अक्सर अध्ययन की जा रही स्थितियों के गणितीय मॉडल का प्रतिनिधित्व करती हैं। इनमें से एक मॉडल के बारे में आप बीजगणित-8 पाठ्यपुस्तक से पहले ही जान चुके हैं। नीचे दिया गया उदाहरण संदर्भित पाठ्यपुस्तक से लिया गया है।

व्यवहार में, "दो चर वाले तर्कसंगत समीकरण" शब्द की व्यापक व्याख्या अधिक सुविधाजनक है: यह फॉर्म का एक समीकरण है - दो चर x और y के साथ तर्कसंगत अभिव्यक्ति।
दो चर वाले तर्कसंगत समीकरणों के उदाहरण:

बेशक, आप अन्य चरों के साथ तर्कसंगत समीकरणों पर विचार कर सकते हैं, जरूरी नहीं कि x के साथ, उदाहरण के लिए, a3 - bx = 3ab - दो चर a, b के साथ एक तर्कसंगत समीकरण। लेकिन परंपरा के अनुसार, बीजगणित में वे अक्षर x और y को चर के रूप में उपयोग करना पसंद करते हैं।

परिभाषा 2.

समीकरण p (x, y) = 0 का समाधान संख्याओं (x; y) का कोई भी युग्म है जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात। चर p (x, y) = 0 के साथ समानता को वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देता है।

उदाहरण के लिए:

1) (3; 7) - समीकरण x 2 + y 2 = 58 का हल। वास्तव में, 3 2 + 7 2 = 58 एक सही संख्यात्मक समानता है।
2) - समीकरण x 2 + y 2 - 58 का हल। वास्तव में, - सही संख्यात्मक समानता (22 + 36 = 58)।

3) (0; 5) - समीकरण 2xy + x 3 = 0 का हल। वास्तव में, 2 0 5 + 0+ O 2 = 0 एक सही संख्यात्मक समानता है।
4) (1; 2) समीकरण 2xy + x 3 = 0 का समाधान नहीं है। वास्तव में, 2 1 2 + 3 = 0 एक गलत समानता है (यह 5 = 0 निकलता है)।

दो चर वाले समीकरणों के साथ-साथ एक चर वाले समीकरणों के लिए, हम समीकरणों की तुल्यता की अवधारणा का परिचय दे सकते हैं।

परिभाषा 3.

दो समीकरण p(x, y) = 0 और d(x, y) = 0 को समतुल्य कहा जाता है यदि उनके समाधान समान हैं (विशेष रूप से, यदि दोनों समीकरणों का कोई समाधान नहीं है)।

आमतौर पर, किसी समीकरण को हल करते समय, वे इस समीकरण को एक सरल, लेकिन उसके समकक्ष समीकरण से बदलने का प्रयास करते हैं। इस तरह के प्रतिस्थापन को समीकरण का समतुल्य परिवर्तन कहा जाता है। दो मुख्य समकक्ष रूपांतरण नीचे सूचीबद्ध हैं:

1) समीकरण के पदों को विपरीत चिह्नों के साथ समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करना।
उदाहरण के लिए, समीकरण 2x + bу = 7x - 8у को समीकरण 2x - 7x - -8у - bу के साथ बदलना समीकरण का एक समतुल्य परिवर्तन है।
2) किसी समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही गैर-शून्य संख्या या अभिव्यक्ति से गुणा या विभाजित करना।
उदाहरण के लिए, समीकरण 0.5l:2 - 0.3xy = 2y को समीकरण 5l:2 - 3xy = 20y से बदलना (समीकरण के दोनों पक्षों को पद दर पद 10 से गुणा किया गया था) समीकरण का एक समतुल्य परिवर्तन है।

समीकरण के असमान परिवर्तन, जैसा कि एक चर वाले समीकरणों के मामले में होता है, ये हैं:

1) चर वाले हर से मुक्ति।
2) समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करना।

यदि समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में संकेतित गैर-समतुल्य परिवर्तनों में से एक का उपयोग किया गया था, तो पाए गए सभी समाधानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा जांचा जाना चाहिए, क्योंकि उनमें से बाहरी समाधान भी हो सकते हैं।

कभी-कभी दो चर वाले समीकरण के ज्यामितीय (ग्राफिकल) मॉडल पर स्विच करना संभव होता है, यानी। समीकरण का रेखांकन करें. आपको संभवतः याद होगा कि दो चर ax + bу + c = 0 (a, b, c संख्याएं, गुणांक हैं, जहां a, b में से कम से कम एक संख्या शून्य से भिन्न है) वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ एक सीधी रेखा है - एक ज्यामितीय मॉडल रैखिक समीकरण. आइए दो चर x और y के साथ कुछ और तर्कसंगत समीकरणों के लिए संबंधित ग्राफ़िकल मॉडल ढूंढने का प्रयास करें।

उदाहरण 2.समीकरण y - 2x2 = 0 का एक ग्राफ बनाएं।

समाधान।आइए समीकरण को y = 2x2 के रूप में रूपांतरित करें। फलन y - 2x2 का ग्राफ एक परवलय है, जिसे समीकरण y - 2x2 = 0 का ग्राफ भी माना जाता है (चित्र 33)।

उदाहरण 3.समीकरण xy = 2 को आलेखित करें।
समाधान।आइए समीकरण को इस रूप में रूपांतरित करें फ़ंक्शन का ग्राफ़ - एक हाइपरबोला है, इसे समीकरण xy = 2 का ग्राफ़ भी माना जाता है (चित्र 34)।

इस प्रकार, यदि समीकरण p(x, y) = O को y = f (x) के रूप में बदला जा सकता है, तो फ़ंक्शन y - f (x) का ग्राफ उसी समय का ग्राफ माना जाता है समीकरण p(x, y) - 0.

उदाहरण 4.समीकरण x 2 + y 2 = 16 का ग्राफ़ बनाएं।

समाधान।

आइए ज्यामिति पाठ्यक्रम से एक प्रमेय का उपयोग करें: समीकरण x 2 + y 2 = r 2 का ग्राफ, जहां r एक धनात्मक संख्या है, एक वृत्त है जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है और त्रिज्या r है। इसका मतलब यह है कि समीकरण x 2 + y 2 = 16 का ग्राफ एक वृत्त है जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है और त्रिज्या 4 है (चित्र 35)।

ऊपर उल्लिखित प्रमेय निम्नलिखित प्रमेय का एक विशेष मामला है, जिसके बारे में हमें आशा है कि आप भी अपने ज्यामिति पाठ्यक्रम से जानते होंगे।

उदाहरण 5.समीकरण का ग्राफ़ बनाएं:

ए) (एक्स - आई) 2 + (वाई - 2) 2 = 9; बी)एक्स 2 + वाई 2 + 4एक्स = 0.

समाधान:

ए) आइए समीकरण को (x - I) 2 + (y - 2) 2 = 32 के रूप में फिर से लिखें। प्रमेय के अनुसार, इस समीकरण का ग्राफ एक वृत्त है जिसका केंद्र बिंदु (1; 2) और त्रिज्या 3 है (चित्र 37)।

बी) आइए समीकरण को (x 2 + 4x + 4) + y 2 = 4 के रूप में फिर से लिखें, यानी। (x + 2) 2 + y 2 = 4 और आगे (x - (-2)) 2 + (y - O) 2 = 22. प्रमेय के अनुसार, इस समीकरण का ग्राफ एक वृत्त है जिसका केंद्र है बिंदु (-2; 0 ) और त्रिज्या 2 (चित्र 38)।

परिभाषा 4.

यदि कार्य मानों (x; y) के जोड़े को ढूंढना है जो एक साथ समीकरण p (x, y) = 0 और समीकरण q (x, y) = 0 को संतुष्ट करते हैं, तो वे कहते हैं कि ये समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं समीकरणों का:

मानों की एक जोड़ी (x; y), जो एक साथ सिस्टम के पहले और दूसरे दोनों समीकरणों का समाधान है, समीकरणों की प्रणाली का समाधान कहा जाता है। समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधान ढूंढना या यह स्थापित करना कि कोई समाधान नहीं है।
उदाहरण के लिए, जोड़ी (3; 7) - समीकरणों की प्रणाली का समाधान

वास्तव में, यह जोड़ी प्रणाली के पहले और दूसरे दोनों समीकरणों को संतुष्ट करती है, जिसका अर्थ है कि यह इसका समाधान है। आमतौर पर इसे इस तरह लिखा जाता है: (3; 7) - सिस्टम का एक समाधान या एक जोड़ी (5; 9) सिस्टम (1) का समाधान नहीं है: यह पहले समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है (हालांकि यह दूसरे समीकरण को संतुष्ट करता है) प्रणाली में)।

बेशक, समीकरणों में चर जो समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं, उन्हें अन्य अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए: लेकिन किसी भी मामले में, संख्याओं की एक जोड़ी के रूप में उत्तर लिखते समय, लेक्सिकोग्राफ़िक विधि का उपयोग किया जाता है, अर्थात। लैटिन वर्णमाला में पहले आने वाले दो अक्षरों में से एक को पहला स्थान दिया गया है।

कभी-कभी आप ग्राफ़िकल विधि का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं जिससे आप परिचित हैं: आपको पहले समीकरण को ग्राफ़ करना होगा, फिर दूसरे समीकरण को ग्राफ़ करना होगा, और अंत में ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ढूंढना होगा; प्रत्येक प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में कार्य करते हैं।

उदाहरण 6.समीकरणों की प्रणाली को हल करें

समाधान।

1) समीकरण x 2 + y 2 = 16 का एक ग्राफ बनाएं - एक वृत्त जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है और त्रिज्या 4 है (चित्र 39)।
2) आइए समीकरण y - x = 4 का एक ग्राफ बनाएं। यह बिंदुओं (0; 4) और (-4; 0) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है (चित्र 39)।
3) वृत्त और सीधी रेखा बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 39)। निर्मित ज्यामितीय मॉडल को देखते हुए, बिंदु A में निर्देशांक A(-4; 0) हैं, और बिंदु B में निर्देशांक B(0; 4) हैं। जाँच से पता चलता है कि वास्तव में जोड़ी (-4; 0) और जोड़ी (0; 4) प्रणाली के दोनों समीकरणों के समाधान हैं, और इसलिए समीकरणों की प्रणाली के समाधान हैं। नतीजतन, समीकरणों की दी गई प्रणाली के दो समाधान हैं: (-4; 0) और (0; 4)।

उत्तर: (-4; 0); (0; 4).

उदाहरण 7.समीकरणों की प्रणाली को हल करें

समाधान।

1) सिस्टम के पहले समीकरण को y = 2x 2 के रूप में फिर से लिखने के बाद, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं: समीकरण का ग्राफ एक परवलय है (चित्र 40)।
2) सिस्टम के दूसरे समीकरण को इस रूप में दोबारा लिखने के बाद हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं: समीकरण का ग्राफ एक हाइपरबोला है (चित्र 40)।

3) परवलय और अतिपरवलय बिंदु A पर प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 40)। निर्मित ज्यामितीय मॉडल को देखते हुए, बिंदु A में निर्देशांक A (1; 2) है। जाँच से पता चलता है कि वास्तव में जोड़ी (1; 2) प्रणाली के दोनों समीकरणों का एक समाधान है, और इसलिए समीकरणों की प्रणाली का एक समाधान है। नतीजतन, समीकरणों की दी गई प्रणाली का एक ही समाधान है: (1; 2)।

उत्तर: (1; 2).

समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए ग्राफ़िकल विधि, समीकरणों को हल करने के लिए ग्राफ़िकल विधि की तरह, सुंदर है, लेकिन अविश्वसनीय है: सबसे पहले, क्योंकि हम हमेशा समीकरणों के ग्राफ़ बनाने में सक्षम नहीं होंगे; दूसरे, भले ही समीकरणों के ग्राफ़ बनाना संभव हो, प्रतिच्छेदन बिंदु विशेष रूप से चयनित उदाहरण 6 और 7 की तरह "अच्छे" नहीं हो सकते हैं, और यहां तक ​​कि ड्राइंग की सीमाओं के बाहर भी हो सकते हैं। इसका मतलब यह है कि हमें दो चर वाले दो समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए विश्वसनीय बीजगणितीय तरीकों की आवश्यकता है। इस पर अगले पैराग्राफ में चर्चा की जाएगी.

ए.जी. मोर्दकोविच बीजगणित 9वीं कक्षा

ऑनलाइन गणित सामग्री, ग्रेड के अनुसार समस्याएँ और उत्तर, गणित पाठ योजनाएँ

गणित पाठ नोट्स

के विषय पर:

« दो चर वाले तर्कसंगत समीकरण।

बुनियादी अवधारणाओं».

द्वारा तैयार:

गणित शिक्षक

एमबीओयू माध्यमिक विद्यालय नंबर 2

बोर्शोवा ई. एस.

पावलोवस्की पोसाद

पाठ का प्रकार: नई सामग्री सीखना.

पाठ विषय: दो चर वाले तर्कसंगत समीकरण। बुनियादी अवधारणाओं।

लक्ष्य:

विषय की बुनियादी अवधारणाओं और शर्तों का परिचय दें;

छात्रों के गणितीय भाषण और सोच का विकास करना।

उपकरण: बोर्ड नोट्स, प्रोजेक्टर, स्क्रीन, प्रेजेंटेशन के लिए।

आयोजन का समय. (2-3 मिनट)

(1 स्लाइड)

नमस्कार दोस्तों, बैठिए! आज हम एक नए, काफी दिलचस्प विषय पर गौर करेंगे, जो भविष्य की सामग्री में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने की कुंजी होगी। हम अपनी कार्यपुस्तिकाएँ खोलते हैं, तारीख लिखते हैं, आज 16 अक्टूबर है, कक्षा कार्य और पाठ विषय: “दो चर वाले तर्कसंगत समीकरण। बुनियादी अवधारणाओं"। (शिक्षक वही बात बोर्ड पर लिखता है)

द्वितीय . ज्ञान को अद्यतन करना। (5 मिनट।)

(2 स्लाइड)

किसी नए विषय का अध्ययन शुरू करने के लिए, हमें कुछ ऐसी सामग्री याद रखनी होगी जो आप पहले से जानते हों। तो, आइए प्राथमिक कार्यों और उनके ग्राफ़ को याद रखें:

1. एक रेखीय फलन का ग्राफ

2. परवलय. एक द्विघात फलन का ग्राफ़ , (ए ≠ 0)

विहित मामले पर विचार करें:

3. घन परवलय

फ़ंक्शन द्वारा एक घन परवलय दिया जाता है

4. अतिपरवलय ग्राफ

हम फिर से तुच्छ अतिशयोक्ति को याद करते हैं

बहुत अच्छा!

तृतीय . नई सामग्री का अध्ययन (प्रस्तुति के साथ)। (35 मि.)

(3 स्लाइड)

पिछले पाठों में आपने एक चर वाले परिमेय समीकरण की परिभाषा सीखी, और अब हम कह रहे हैं कि यह दो चर वाले परिमेय समीकरण की परिभाषा के बहुत समान है:

आपको इसे लिखने की ज़रूरत नहीं है, यह आपकी पाठ्यपुस्तकों में है, इसे घर पर दोबारा पढ़ें और सीखें!

अपनी नोटबुक में उदाहरण लिखें:

इसके अलावा, हम कह सकते हैं कि h(x; y) = g(x; y) के रूप का एक तर्कसंगत समीकरण हमेशा p(x; y) = 0 के रूप में बदला जा सकता है, जहां p(x; y) = 0 एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति है. ऐसा करने के लिए, आपको अभिव्यक्ति को इस तरह से फिर से लिखना होगा: h (x; y) - g (x; y) = 0, यानी p (x; y) = 0. अपनी नोटबुक में अंतिम दो समानताएँ लिखें!

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हम निम्नलिखित परिभाषा को ध्यान से सुनते हैं और याद रखते हैं; इसे लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है!

और अपनी नोटबुक में केवल उदाहरण लिखें:

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आइए निम्नलिखित समीकरण को हल करें (छात्र अपनी नोटबुक में समाधान लिखते हैं, शिक्षक समाधान के प्रत्येक चरण पर टिप्पणी करते हैं, साथ ही बच्चों के प्रश्नों का उत्तर देते हैं):

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अगली परिभाषा दो समीकरणों की तुल्यता की परिभाषा है, यह भी आप पिछले पैराग्राफ से पहले से ही जानते हैं, इसलिए बस देखें और सुनें:

अब आइए याद करें कि आप कौन से समकक्ष परिवर्तन जानते हैं:

किसी समीकरण के पदों को विपरीत चिह्नों के साथ एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करना (बोर्ड पर उदाहरण, आपको उन्हें लिखने की ज़रूरत नहीं है, यदि आप चाहें तो उन्हें लिख लें);

किसी समीकरण के दोनों पक्षों को शून्य से भिन्न एक ही संख्या से गुणा या विभाजित करना या (हम भी जानते हैं) किसी ऐसे व्यंजक से जो हर जगह शून्य से भिन्न हो (इस पर ध्यान दें!); (किसी ऐसे व्यक्ति के लिए उदाहरण लिखें जिसे उनकी आवश्यकता हो)।

आप कौन से असमान परिवर्तन जानते हैं?

1) चर वाले हर से छूट;

2) समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करना।

आश्चर्यजनक!

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अगली अवधारणा जिस पर हम आज विचार करेंगे वह दो बिंदुओं के बीच की दूरी का सूत्र है।

लिखना:

(छात्र दोनों प्रमेय अपनी नोटबुक में लिखते हैं)

हम इस चित्र को एक नोटबुक में दोबारा बनाते हैं, निर्देशांक अक्षों, वृत्त के केंद्र को लेबल करते हैं और त्रिज्या को चिह्नित करते हैं।

क्या आपका कोई प्रश्न है? (यदि कोई प्रश्न नहीं है, तो हम काम करना जारी रखेंगे)

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आइए उदाहरण देखें, लिखें:

(चित्र.पी1 तक)
(चित्र पी2 तक)

बच्चे धीरे-धीरे, ऊपर लिखित प्रमेय के आधार पर, शिक्षक के प्रश्नों का उत्तर देते हुए, स्वतंत्र रूप से निर्णय लेते हैं, समाधान को एक नोटबुक में लिखते हैं, और चित्र फिर से बनाते हैं।

बहुत अच्छा! अब, अपने लिए ऐसी तालिका दोबारा बनाएं, यह भविष्य में समस्याओं को हल करते समय एक अच्छी सहायक बन जाएगी।

(9 स्लाइड)

छात्र ध्यानपूर्वक इस तालिका को अपनी नोटबुक में बनाते हैं और उसमें डेटा दर्ज करते हैं।

वीगृहकार्य (2-3 मिनट)।

(10 स्लाइड)

पाठ समाप्त होने में 2 मिनट बचे हैं, डायरी खोलें, अपना होमवर्क लिखें:

1) अध्याय 2, §5;

2) पी. 71 स्व-परीक्षण प्रश्न;

3) क्रमांक 5.1; क्रमांक 5.3 (ए, बी); क्रमांक 5.7.

आत्मविश्लेषण.

पाठ की शुरुआत काफी मैत्रीपूर्ण, ईमानदार, खुली और व्यवस्थित थी। कक्षा को पाठ के लिए तैयार किया गया था। पूरे पाठ के दौरान बच्चों ने अच्छा प्रदर्शन किया।

मैंने तुरंत पाठ के लक्ष्यों की घोषणा की। पाठ के लिए बच्चों के लिए प्रस्तावित लक्ष्य कार्यक्रम की आवश्यकताओं और सामग्री की सामग्री के अनुरूप थे।

पाठ की शुरुआत में, संज्ञानात्मक गतिविधि को तेज करने के तरीके के रूप में, बच्चों को पहले से अध्ययन की गई सामग्री में से कुछ सामग्री को याद करने के लिए कहा गया था, जिसे उन्होंने बिना किसी विशेष कठिनाई के पूरा किया।

पाठ की सामग्री शैक्षिक मानक की आवश्यकताओं को पूरा करती है।

पाठ की संरचना ऊपर सुझाई गई है। मेरी राय में, यह पाठ के लक्ष्यों और प्रकार से मेल खाता है। पाठ के चरण तार्किक रूप से जुड़े हुए थे और आसानी से एक दूसरे में परिवर्तित हो गए थे। प्रत्येक चरण में परिणामों का सारांश दिया गया। अलग-अलग चरणों के लिए अलग-अलग समय आवंटित किया गया था, यह इस बात पर निर्भर करता था कि उनमें से कौन सा चरण मुख्य था। मेरी राय में, इसे तर्कसंगत रूप से वितरित किया गया था। पाठ के प्रारम्भ एवं समापन का आयोजन किया गया। पाठ की गति इष्टतम थी.

ज्ञान को अद्यतन करने के पहले चरण के बाद, पाठ का मुख्य चरण आया - नई सामग्री की व्याख्या। यह चरण मुख्य था, इसलिए अधिकांश समय इसी को समर्पित था।

नई सामग्री की प्रस्तुति तार्किक, सक्षम, उच्च सैद्धांतिक और साथ ही बच्चों के लिए सुलभ स्तर पर थी। मैंने हमेशा विषय पर मुख्य विचारों पर प्रकाश डाला और उन्हें उनकी कार्यपुस्तिकाओं में लिखा।

सामग्री के सबसे तेज़ और सबसे सही आत्मसात के लिए, नई सामग्री का अध्ययन बुनियादी व्यावहारिक कार्यों के पूरा होने के साथ एक संक्षिप्त व्याख्यान के रूप में किया गया था।

मैंने PowerPoint में एक प्रेजेंटेशन बनाया. प्रस्तुति का मुख्यतः सहायक कार्य था।

ज्ञान के आत्मसात को नियंत्रित करने के लिए, पूरे पाठ में, छात्रों ने समस्याओं को हल किया, जिसके परिणामों के आधार पर मैं प्रत्येक बच्चे द्वारा सैद्धांतिक सामग्री को आत्मसात करने की डिग्री का अनुमान लगा सका। ज्ञान की निगरानी के बाद, शिक्षक ने सुधार कार्य किया। जिन प्रश्नों से छात्रों को सबसे अधिक परेशानी हुई उन पर दोबारा विचार किया गया।

इसके बाद पाठ का सारांश दिया गया और छात्रों को होमवर्क दिया गया। होमवर्क सुदृढ़ीकरणात्मक, विकासात्मक प्रकृति का था। मेरी राय में, यह सभी बच्चों के लिए संभव था।

पाठ की सामग्री इष्टतम थी, शिक्षण विधियाँ मौखिक, दृश्य और व्यावहारिक थीं। कार्य का स्वरूप वार्तालाप है। मैंने संज्ञानात्मक गतिविधि को सक्रिय करने के लिए तकनीकों का उपयोग किया - समस्याग्रस्त प्रश्न प्रस्तुत करना, सामान्य प्रकृति की योजनाओं के अनुसार सामान्यीकरण करना।

छात्र पाठ में सक्रिय थे। उन्होंने उत्पादक ढंग से काम करने, जो देखा उससे निष्कर्ष निकालने और अपने ज्ञान का विश्लेषण और सामान्यीकरण करने की क्षमता दिखाई। बच्चों ने आत्म-नियंत्रण कौशल की उपस्थिति भी दिखाई, लेकिन केवल कुछ ही बेचैन थे, और उन्होंने मुझसे सबसे अधिक ध्यान आकर्षित किया।

कक्षा को पाठ के लिए तैयार किया गया था।

मेरा मानना ​​है कि पाठ की शुरुआत में निर्धारित लक्ष्य हासिल कर लिए गए हैं।

इस समीकरण को सरल बनाने के लिए सबसे कम सामान्य विभाजक का उपयोग किया जाता है।इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब आप किसी दिए गए समीकरण को समीकरण के प्रत्येक पक्ष पर एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति के साथ नहीं लिख सकते (और गुणन की क्रिसक्रॉस विधि का उपयोग करें)। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब आपको 3 या अधिक भिन्नों वाला एक तर्कसंगत समीकरण दिया जाता है (दो भिन्नों के मामले में, क्रिस-क्रॉस गुणन का उपयोग करना बेहतर होता है)।

दो चर वाले एक समीकरण पर विचार करें

चर मानों का वह युग्म जो दो चर वाले समीकरण को सत्य बनाता है, समीकरण का हल कहलाता है। यदि दो चर x और y वाला एक समीकरण दिया गया है, तो चर का मान पहले स्थान पर और y का मान दूसरे स्थान पर रखकर उसका समाधान लिखने की प्रथा है।

इस प्रकार, जोड़े समीकरण का समाधान हैं, लेकिन जोड़ी (1; 5) समीकरण का समाधान नहीं है।

इस समीकरण के अन्य समाधान भी हैं. उन्हें खोजने के लिए, एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करना सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, x से y y, जिसके परिणामस्वरूप समीकरण प्राप्त होता है। Y का एक मनमाना मान चुनने के बाद, हम x के संगत मान की गणना करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि इसका मतलब है कि जोड़ी (31; 7) समीकरण का एक समाधान है; यदि इसका मतलब है कि जोड़ी (4; -2) भी दिए गए समीकरण का एक समाधान है, आदि।

दो चर वाले समीकरणों को समतुल्य कहा जाता है यदि उनके समाधान समान हों।

दो चर वाले समीकरणों के लिए, समीकरण के समतुल्य परिवर्तनों पर प्रमेय 5.1 और 5.2 (पैराग्राफ 135 देखें) मान्य हैं।