"वास्तविक जीवन में त्रिकोणमिति" सूचना परियोजना। कला और वास्तुकला में त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग चिकित्सा में त्रिकोणमिति के विषय पर संदेश

रोडिकोवा वेलेरिया, टिप्सिन एल्डार

पहला गणितीय ज्ञान प्राचीन ग्रीस में प्राचीन काल (IV-III शताब्दी ईसा पूर्व) में दिखाई देता है। 17वीं-18वीं शताब्दी में विज्ञान की मौलिक सामग्री का विकास हुआ। सभ्यता के विकास के विभिन्न कालखंडों में विभिन्न देशों के वैज्ञानिकों ने आधुनिक गणित के विकास में योगदान दिया। गणित की वह शाखा जो त्रिकोणमितीय कार्यों का अध्ययन करती है, त्रिकोणमिति कहलाती है। जीवन के सभी क्षेत्रों के लोग अपने काम में त्रिकोणमिति के तत्वों का उपयोग करते हैं। ये विभिन्न वैज्ञानिक और व्यावहारिक क्षेत्रों के शोधकर्ता, भौतिक विज्ञानी, डिजाइनर, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी विशेषज्ञ, डिजाइनर, मल्टीमीडिया प्रस्तुतियों के लेखक, डॉक्टर और विभिन्न क्षेत्रों के विशेषज्ञ हैं। इस परियोजना ने वास्तुकला में त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग का पता लगाया।

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कार्य किसके द्वारा किया गया: रोडिकोवा वेलेरिया, टिप्सिन एल्डार, एमबीओयू "बेलोयार्स्क सेकेंडरी स्कूल नंबर 1" के कक्षा 10 "ए" के छात्र पर्यवेक्षक: ज़ेलनिरोविच एन.वी., वास्तुकला में गणित शिक्षक त्रिकोणमिति 2013 छात्रों का क्षेत्रीय अनुसंधान सम्मेलन "भविष्य का अभिजात वर्ग" Verkhneketye"

त्रिकोणमिति - (ग्रीक ट्रिग्नॉन से - त्रिकोण और मेट्रू - माप) - एक विज्ञान जो त्रिकोण के कोणों और भुजाओं और त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंधों का अध्ययन करता है।

हमने मान लिया कि त्रिकोणमिति का उपयोग न केवल विश्लेषण और बीजगणित के सिद्धांतों में किया जाता है, बल्कि कई अन्य विज्ञानों में भी किया जाता है, उदाहरण के लिए वास्तुकला में।

वास्तुकला में त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग के क्षेत्रों का परिचय। कार्य के लक्ष्य

जानें कि वास्तुकला में त्रिकोणमिति का उपयोग कैसे किया जाता है, इस समस्या क्षेत्र में त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग का अन्वेषण करें

ज़ाहा हदीद ज़ाहा हदीद (31 अक्टूबर 1950, बगदाद, इराक) अरब मूल के एक ब्रिटिश वास्तुकार हैं। विखण्डनवाद का प्रतिनिधि। 2004 में, वह प्रित्ज़कर पुरस्कार से सम्मानित होने वाली इतिहास की पहली महिला वास्तुकार बनीं। आधुनिक वास्तुकला में विखंडनवाद एक प्रवृत्ति है। डिकंस्ट्रक्टिविस्ट परियोजनाओं की विशेषता दृश्य जटिलता, अप्रत्याशित टूटे हुए और जानबूझकर विनाशकारी रूप, साथ ही शहरी पर्यावरण पर एक आक्रामक आक्रामक आक्रमण है।

अबू धाबी, संयुक्त अरब अमीरात में शेख जायद ब्रिज

एंटोनी प्लासिड गुइलम गौडी आई कर्नेट एक स्पेनिश वास्तुकार हैं, जिनकी अधिकांश सनकी और शानदार कृतियाँ बार्सिलोना में बनाई गई थीं। जिस शैली में गौडी ने काम किया उसे आर्ट नोव्यू के रूप में वर्गीकृत किया गया है। हालाँकि, अपने काम में उन्होंने विभिन्न प्रकार की शैलियों के तत्वों का उपयोग किया, उन्हें प्रसंस्करण के अधीन किया। आधुनिक कला में एक कलात्मक आंदोलन है, इसकी विशिष्ट विशेषताएं अधिक प्राकृतिक, "प्राकृतिक" रेखाओं के पक्ष में सीधी रेखाओं और कोणों की अस्वीकृति हैं।

बार्सिलोना, स्पेन में गौडी चिल्ड्रन स्कूल

गौडी की सतह k =1, a =1 है

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सैंटियागो कैलात्रावा वाल्स एक स्पेनिश वास्तुकार और मूर्तिकार हैं, जो दुनिया के विभिन्न देशों में कई भविष्य की इमारतों के लेखक हैं।

बोदेगास इसियोस वाइनरी स्पेन

कैंडेला फेलिक्स (1910-1997), मैक्सिकन वास्तुकार और इंजीनियर। विभिन्न प्रबलित कंक्रीट शैल वाल्टों के निर्माता; हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड्स के रूप में पतली दीवार वाली कोटिंग विकसित की गई।

लॉस मैनेंटियालेस, अर्जेंटीना में रेस्तरां [ए डी कॉस (टी) + डी डी टी, बी डी सिन (टी), सी डी टी + ई डी टी 2]

लंदन, यूके में स्विस री इंश्योरेंस कॉर्पोरेशन x = λ y = f (λ) cos θ z = f (λ) पाप θ

गॉथिक वास्तुकला नोट्रे डेम कैथेड्रल 1163 - 14वीं सदी के मध्य में।

बर्लिन साइन लहरें, जर्मनी

परिणाम परियोजना "भविष्य के स्कूल"

: हमने पाया कि त्रिकोणमिति का उपयोग न केवल बीजगणित और विश्लेषण के सिद्धांतों में, बल्कि कई अन्य विज्ञानों में भी किया जाता है। त्रिकोणमिति कला और वास्तुकला की कई उत्कृष्ट कृतियों के निर्माण का आधार है। हमने भवन निर्माण में त्रिकोणमिति को देखना सीखा मॉडल। निष्कर्ष

आपके ध्यान देने के लिए धन्यवाद!

नगर शैक्षणिक संस्थान

"व्यायामशाला नंबर 1"

"वास्तविक जीवन में त्रिकोणमिति"

सूचना परियोजना

पुरा होना:

क्रास्नोव ईगोर

कक्षा 9ए का छात्र

पर्यवेक्षक:

बोरोडकिना तात्याना इवानोव्ना

Zheleznogorsk

परिचय………………………………………………..……3

प्रासंगिकता…………………………………………………….3

लक्ष्य………………………………………………4

कार्य……………………………………………….4

1.4 विधियाँ………………………………………………4

2. त्रिकोणमिति और इसके विकास का इतिहास…………………………..5

2.1. त्रिकोणमिति और गठन के चरण…………………….5

2.2. एक पद के रूप में त्रिकोणमिति. विशेषताएँ……………….7

2.3.साइन की घटना…………………………………….7

2.4. कोसाइन की उपस्थिति…………………….……………….8

2.5. स्पर्शरेखा एवं कोटैंजेंट का उद्भव………………………….9

2.6 त्रिकोणमिति का और विकास…………………………..9

3. त्रिकोणमिति और वास्तविक जीवन………………………………12

3.1.नेविगेशन…………………………..…………………………12

3.2बीजगणित…………………………………………………………14

3.3.भौतिकी………………………………..…………………………14

3.4.चिकित्सा, जीव विज्ञान और बायोरिदम्स………………………………15

3.5.संगीत………………………………..……………………..19

3.6.सूचना विज्ञान..…………………………..……………………21

3.7. निर्माण क्षेत्र और भूगणित..................................22

3.8 कला और वास्तुकला में त्रिकोणमिति…………………………22

निष्कर्ष। …………………………..…………………………..25

सन्दर्भ.………………………….…………………………27

परिशिष्ट 1………………………………………………………………29

परिचय

आधुनिक दुनिया में, वैज्ञानिक गतिविधि और अध्ययन के क्षेत्रों में से एक के रूप में गणित पर काफी ध्यान दिया जाता है। जैसा कि हम जानते हैं, गणित का एक घटक त्रिकोणमिति है। त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जो त्रिकोणमितीय कार्यों का अध्ययन करती है। मेरा मानना ​​है कि यह विषय, सबसे पहले, व्यावहारिक दृष्टिकोण से प्रासंगिक है। हम स्कूल में अपनी पढ़ाई पूरी कर रहे हैं, और हम समझते हैं कि कई व्यवसायों के लिए त्रिकोणमिति का ज्ञान अत्यंत आवश्यक है, क्योंकि... आपको खगोल विज्ञान में निकटवर्ती तारों, भूगोल में स्थलों के बीच की दूरी मापने और उपग्रह नेविगेशन प्रणालियों को नियंत्रित करने की अनुमति देता है। त्रिकोणमिति के सिद्धांतों का उपयोग संगीत सिद्धांत, ध्वनिकी, प्रकाशिकी, वित्तीय बाजार विश्लेषण, इलेक्ट्रॉनिक्स, संभाव्यता सिद्धांत, सांख्यिकी, जीव विज्ञान, चिकित्सा (अल्ट्रासाउंड और कंप्यूटेड टोमोग्राफी सहित), फार्मास्यूटिकल्स, रसायन विज्ञान, संख्या सिद्धांत (और, जैसे) जैसे क्षेत्रों में भी किया जाता है। एक परिणाम, क्रिप्टोग्राफी), भूकंप विज्ञान, मौसम विज्ञान, समुद्र विज्ञान, कार्टोग्राफी, भौतिकी की कई शाखाएं, स्थलाकृति और भूगणित, वास्तुकला, ध्वन्यात्मकता, अर्थशास्त्र, इलेक्ट्रॉनिक इंजीनियरिंग, मैकेनिकल इंजीनियरिंग, कंप्यूटर ग्राफिक्स, क्रिस्टलोग्राफी।

दूसरी बात, प्रासंगिकता"वास्तविक जीवन में त्रिकोणमिति" का विषय यह है कि त्रिकोणमिति का ज्ञान विज्ञान के कई क्षेत्रों में विभिन्न समस्याओं को हल करने के नए तरीके खोलेगा और विभिन्न विज्ञानों के कुछ पहलुओं की समझ को सरल बनाएगा।

यह लंबे समय से स्थापित प्रथा रही है कि स्कूली बच्चों को तीन बार त्रिकोणमिति का सामना करना पड़ता है। तो हम कह सकते हैं कि त्रिकोणमिति के तीन भाग होते हैं। ये हिस्से आपस में जुड़े हुए हैं और समय पर निर्भर हैं। साथ ही, वे बिल्कुल अलग हैं, बुनियादी अवधारणाओं को समझाते समय निर्धारित अर्थ के संदर्भ में और कार्यों के संदर्भ में समान विशेषताएं नहीं हैं।

पहला परिचय आठवीं कक्षा में होता है। यह वह अवधि है जब स्कूली बच्चे सीखते हैं: "एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंध।" त्रिकोणमिति के अध्ययन की प्रक्रिया में, कोसाइन, साइन और स्पर्शरेखा की अवधारणाएँ दी जाती हैं।

अगला कदम 9वीं कक्षा में त्रिकोणमिति के बारे में सीखना जारी रखना है। जटिलता का स्तर बढ़ जाता है, उदाहरणों को हल करने के तरीके और तरीके बदल जाते हैं। अब, कोज्या और स्पर्शज्या के स्थान पर वृत्त और उसकी क्षमताएँ आती हैं।

अंतिम चरण 10वीं कक्षा है, जिसमें त्रिकोणमिति अधिक जटिल हो जाती है और समस्याओं को हल करने के तरीके बदल जाते हैं। रेडियन कोण माप की अवधारणा पेश की गई है। त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ प्रस्तुत किए गए हैं। इस स्तर पर, छात्र त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना और सीखना शुरू करते हैं। लेकिन ज्यामिति नहीं. त्रिकोणमिति को पूरी तरह से समझने के लिए इसकी उत्पत्ति और विकास के इतिहास से परिचित होना आवश्यक है। ऐतिहासिक पृष्ठभूमि से परिचित होने और महान हस्तियों, गणितज्ञों और वैज्ञानिकों के काम का अध्ययन करने के बाद, हम समझ सकते हैं कि त्रिकोणमिति हमारे जीवन को कैसे प्रभावित करती है, यह नई वस्तुओं को बनाने और खोज करने में कैसे मदद करती है।

उद्देश्यमेरा प्रोजेक्ट मानव जीवन में त्रिकोणमिति के प्रभाव का अध्ययन करना और उसमें रुचि विकसित करना है। इस लक्ष्य को हल करने के बाद हम यह समझ सकेंगे कि त्रिकोणमिति हमारी दुनिया में क्या स्थान रखती है, यह किन व्यावहारिक समस्याओं का समाधान करती है।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, हमने निम्नलिखित की पहचान की है कार्य:

1. त्रिकोणमिति के गठन और विकास के इतिहास से परिचित हों;

2. गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में त्रिकोणमिति के व्यावहारिक प्रभाव के उदाहरणों पर विचार करें;

3. त्रिकोणमिति की संभावनाओं और मानव जीवन में इसके अनुप्रयोग को उदाहरण सहित दर्शाइए।

तरीके:जानकारी की खोज और संग्रह.

1. त्रिकोणमिति और इसके विकास का इतिहास

त्रिकोणमिति क्या है? यह शब्द गणित की एक शाखा को संदर्भित करता है जो विभिन्न कोण आकारों के बीच संबंधों का अध्ययन करता है, त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और त्रिकोणमितीय कार्यों की बीजगणितीय पहचान का अध्ययन करता है। यह कल्पना करना कठिन है कि गणित का यह क्षेत्र रोजमर्रा की जिंदगी में हमारे सामने आता है।

1.1. त्रिकोणमिति और इसके गठन के चरण

आइए इसके विकास के इतिहास, गठन के चरणों की ओर मुड़ें। प्राचीन काल से, त्रिकोणमिति ने अपनी मूल बातें हासिल की हैं, विकसित की हैं और अपने पहले परिणाम दिखाए हैं। इस क्षेत्र के उद्भव और विकास के बारे में सबसे पहली जानकारी हम प्राचीन मिस्र, बेबीलोन और प्राचीन चीन में स्थित पांडुलिपियों में देख सकते हैं। रिंडा पेपिरस (दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व) से 56वीं समस्या का अध्ययन करने पर, कोई यह देख सकता है कि यह एक पिरामिड का झुकाव खोजने का प्रस्ताव करता है जिसकी ऊंचाई 250 हाथ है। पिरामिड के आधार की भुजा की लंबाई 360 हाथ है (चित्र 1)। यह उत्सुक है कि इस समस्या को हल करने में मिस्रवासियों ने एक साथ दो माप प्रणालियों - "कोहनी" और "हथेलियों" का उपयोग किया। आज, इस समस्या को हल करते समय, हम कोण की स्पर्शरेखा ज्ञात करेंगे: आधार और एपोथेम का आधा भाग जानना (चित्र 1)।

अगला कदम विज्ञान के विकास का चरण था, जो सामोस के खगोलशास्त्री एरिस्टार्चस से जुड़ा है, जो तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में रहते थे। इ। ग्रंथ ने सूर्य और चंद्रमा के परिमाण और दूरी पर विचार करते हुए अपने लिए एक विशिष्ट कार्य निर्धारित किया। इसे प्रत्येक खगोलीय पिंड की दूरी निर्धारित करने की आवश्यकता में व्यक्त किया गया था। ऐसी गणना करने के लिए, किसी एक कोण के ज्ञात मान के साथ एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात की गणना करना आवश्यक था। एरिस्टार्चस ने चतुर्भुज के दौरान सूर्य, चंद्रमा और पृथ्वी द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज माना। कर्ण के मान की गणना करने के लिए, जो पृथ्वी से सूर्य की दूरी के लिए आधार के रूप में कार्य करता है, पैर का उपयोग करके, जो पृथ्वी से चंद्रमा तक की दूरी के लिए आधार के रूप में कार्य करता है, आसन्न कोण के ज्ञात मान के साथ (87°), जो मान की गणना के बराबर है कोण का पाप 3. एरिस्टार्चस के अनुसार, यह मान 1/20 से 1/18 तक की सीमा में है। इससे पता चलता है कि सूर्य से पृथ्वी की दूरी चंद्रमा से पृथ्वी की तुलना में बीस गुना अधिक है। हालाँकि, हम जानते हैं कि सूर्य चंद्रमा के स्थान से 400 गुना अधिक दूर है। कोण की माप में अशुद्धि के कारण निर्णय में त्रुटि उत्पन्न हुई।

कई दशकों के बाद, क्लॉडियस टॉलेमी, अपने स्वयं के कार्यों एथनोगोग्राफी, एनालेम्मा और प्लैनिस्फेरियम में, कार्टोग्राफी, खगोल विज्ञान और यांत्रिकी में त्रिकोणमितीय परिवर्धन का एक विस्तृत विवरण प्रदान करते हैं। अन्य बातों के अलावा, एक त्रिविम प्रक्षेपण को दर्शाया गया है, कई तथ्यात्मक मुद्दों का अध्ययन किया गया है, उदाहरण के लिए: आकाशीय पिंड की ऊंचाई और कोण को उसके झुकाव और घंटे के कोण के अनुसार स्थापित करना। त्रिकोणमिति की दृष्टि से इसका अर्थ यह है कि गोलाकार त्रिभुज की भुजा अन्य 2 फलकों तथा विपरीत कोण के अनुसार ज्ञात करना आवश्यक है (चित्र 2)

कुल मिलाकर, यह ध्यान दिया जा सकता है कि त्रिकोणमिति का उपयोग इस उद्देश्य के लिए किया गया था:

दिन का समय स्पष्ट रूप से स्थापित करना;

आकाशीय पिंडों की आगामी स्थिति की गणना, उनके उदय और अस्त होने की घटनाएं, सूर्य और चंद्रमा के ग्रहण;

वर्तमान स्थान के भौगोलिक निर्देशांक ढूँढना;

ज्ञात भौगोलिक निर्देशांक के साथ मेगासिटीज के बीच की दूरी की गणना।

सूक्ति एक प्राचीन खगोलीय तंत्र है, एक ऊर्ध्वाधर वस्तु (स्टील, स्तंभ, ध्रुव), जो दोपहर के समय इसकी छाया की सबसे छोटी लंबाई का उपयोग करके सूर्य की कोणीय ऊंचाई निर्धारित करने की अनुमति देती है (चित्र 3)।

इस प्रकार, कोटैंजेंट को 12 (कभी-कभी 7) इकाइयों की ऊंचाई के साथ एक ऊर्ध्वाधर सूक्ति से छाया की लंबाई के रूप में दर्शाया गया था। ध्यान दें कि मूल संस्करण में, इन परिभाषाओं का उपयोग धूपघड़ी की गणना के लिए किया गया था। स्पर्शरेखा को एक क्षैतिज सूक्ति से गिरने वाली छाया द्वारा दर्शाया गया था। कोसेकेंट और सेकेंट को कर्ण के रूप में समझा जाता है, जो समकोण त्रिभुज के अनुरूप होते हैं।

1.2. एक पद के रूप में त्रिकोणमिति. विशेषता

पहली बार, विशिष्ट शब्द "त्रिकोणमिति" 1505 में सामने आया। इसे जर्मन धर्मशास्त्री और गणितज्ञ बार्थोलोमियस पिटिस्कस द्वारा एक पुस्तक में प्रकाशित और उपयोग किया गया था। उस समय, खगोलीय और वास्तुशिल्प समस्याओं को हल करने के लिए विज्ञान का उपयोग पहले से ही किया जा रहा था।

त्रिकोणमिति शब्द की विशेषता ग्रीक मूल से है। और इसमें दो भाग होते हैं: "त्रिकोण" और "माप"। अनुवाद का अध्ययन करके हम कह सकते हैं कि हमारे सामने एक ऐसा विज्ञान है जो त्रिभुजों के परिवर्तनों का अध्ययन करता है। त्रिकोणमिति का उद्भव भूमि सर्वेक्षण, खगोल विज्ञान और निर्माण प्रक्रिया से जुड़ा है। हालाँकि नाम अपेक्षाकृत हाल ही में सामने आया, वर्तमान में त्रिकोणमिति के रूप में वर्गीकृत कई परिभाषाएँ और डेटा 2000 से पहले ज्ञात थे।

1.3. साइनस की घटना

साइन प्रतिनिधित्व का एक लंबा इतिहास है। वास्तव में, एक त्रिभुज और एक वृत्त के खंडों (और, संक्षेप में, त्रिकोणमितीय कार्यों) के बीच विभिन्न संबंध तीसरी शताब्दी की शुरुआत में पाए गए थे। ईसा पूर्व. प्राचीन ग्रीस के प्रसिद्ध गणितज्ञों के कार्यों में - यूक्लिड, आर्किमिडीज़, पेर्गा के अपोलोनियस। रोमन काल के दौरान, मेनेलॉस (पहली शताब्दी ईस्वी) द्वारा इन संबंधों का पहले से ही नियमित रूप से अध्ययन किया गया था, हालांकि उन्हें कोई विशेष नाम नहीं मिला था। उदाहरण के लिए, कोण α की आधुनिक ज्या का अध्ययन अर्ध-राग के रूप में किया जाता है, जिस पर परिमाण α का केंद्रीय कोण टिका होता है, या दोहरे चाप की जीवा के रूप में।

इसके बाद के काल में भारतीय और अरब वैज्ञानिकों द्वारा लंबे समय तक गणित का गठन सबसे तेजी से किया गया। 4थी-5वीं शताब्दी में, विशेष रूप से, प्रसिद्ध भारतीय वैज्ञानिक आर्यभट्ट (476-सी.550) के खगोल विज्ञान पर कार्यों में एक पूर्व विशेष शब्द उभरा, जिनके नाम पर पृथ्वी के पहले हिंदू उपग्रह का नाम रखा गया था। उन्होंने इस खंड को अर्धजीवा (अर्धा-आधा, जीव-स्ट्रिंग, एक विराम जो एक धुरी जैसा दिखता है) कहा। बाद में, अधिक संक्षिप्त नाम जीव को अपनाया गया। 9वीं शताब्दी में अरब गणितज्ञ। शब्द जिवा (या जिबा) को अरबी शब्द जाइब (अवतलता) से बदल दिया गया था। 12वीं शताब्दी में अरबी गणितीय ग्रंथों के संक्रमण के दौरान। इस शब्द को लैटिन साइनस (साइनस-बेंड) से बदल दिया गया (चित्र 4)।

1.4. कोसाइन की उपस्थिति

"कोसाइन" शब्द की परिभाषा और उत्पत्ति प्रकृति में अधिक अल्पकालिक और अल्पकालिक है। कोसाइन से हमारा मतलब है "अतिरिक्त साइन" (या अन्यथा "अतिरिक्त चाप की साइन"; याद रखें cosα=sin(90° - a))। एक दिलचस्प तथ्य यह है कि त्रिभुजों को हल करने की पहली विधियाँ, जो त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंध पर आधारित होती हैं, ईसा पूर्व दूसरी शताब्दी में प्राचीन यूनानी खगोलशास्त्री हिप्पार्कस द्वारा खोजी गई थीं। यह अध्ययन क्लॉडियस टॉलेमी द्वारा भी किया गया था। धीरे-धीरे, त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात और उसके कोणों के बीच संबंध के बारे में नए तथ्य सामने आए और एक नई परिभाषा लागू की जाने लगी - त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन।

त्रिकोणमिति के निर्माण में एक महत्वपूर्ण योगदान अरब विशेषज्ञों अल-बतानी (850-929) और अबू-एल-वफ़ा, मुहम्मद बिन मुहम्मद (940-998) द्वारा किया गया था, जिन्होंने सटीकता के साथ 10' का उपयोग करके साइन और स्पर्शरेखा की तालिकाएँ एकत्र कीं। 1/604 तक. साइन प्रमेय को पहले भारतीय प्रोफेसर भास्कर (जन्म 1114, मृत्यु का वर्ष अज्ञात) और अज़रबैजानी ज्योतिषी और वैज्ञानिक नसीरेद्दीन तुसी मुहम्मद (1201-1274) द्वारा जाना जाता था। इसके अलावा, नासिरुद्दीन तुसी ने अपने स्वयं के काम "पूर्ण चतुर्भुज पर काम" में प्रत्यक्ष और गोलाकार त्रिकोणमिति को एक स्वतंत्र अनुशासन के रूप में वर्णित किया (चित्र 4)।

1.5. स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट का उद्भव

छाया की लंबाई स्थापित करने की समस्या के निष्कर्ष के संबंध में स्पर्शरेखाएँ उत्पन्न हुईं। स्पर्शरेखा (और कोटैंजेंट भी) की स्थापना 10वीं शताब्दी में अरब अंकगणितज्ञ अबू-एल-वफ़ा द्वारा की गई थी, जिन्होंने स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट खोजने के लिए प्रारंभिक सारणी संकलित की थी। लेकिन ये खोजें लंबे समय तक यूरोपीय वैज्ञानिकों के लिए अज्ञात रहीं, और स्पर्शरेखाओं को केवल 14वीं शताब्दी में जर्मन अंकगणितज्ञ और खगोलशास्त्री रेजिमोंटानस (1467) द्वारा फिर से खोजा गया था। उन्होंने स्पर्शरेखा प्रमेय का तर्क दिया। रेजीओमोंटानस ने विस्तृत त्रिकोणमितीय तालिकाएँ भी संकलित कीं; उनके कार्यों की बदौलत विमान और गोलाकार त्रिकोणमिति यूरोप में एक स्वतंत्र अनुशासन बन गया।

पदनाम "स्पर्शरेखा", जो लैटिन टैंगर (स्पर्श करने के लिए) से आया है, 1583 में उत्पन्न हुआ। स्पर्शरेखा का अनुवाद "स्पर्श करने" के रूप में किया जाता है (स्पर्शरेखा की रेखा इकाई वृत्त की स्पर्शरेखा है)।
त्रिकोणमिति को उत्कृष्ट ज्योतिषियों निकोलस कोपरनिकस (1473-1543), टाइको ब्राहे (1546-1601) और जोहान्स केप्लर (1571-1630) के कार्यों में और गणितज्ञ फ्रेंकोइस विएटा (1540-1603) के कार्यों में भी विकसित किया गया था। जिन्होंने तीन डेटा (चित्र 4) का उपयोग करके एक सपाट या गोलाकार त्रिभुज के सभी घटकों को निर्धारित करने में समस्या को पूरी तरह से हल किया।

1.6 त्रिकोणमिति का और विकास

लंबे समय तक, त्रिकोणमिति का एक विशेष रूप से ज्यामितीय रूप था, अर्थात, त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं में जो डेटा हम वर्तमान में तैयार करते हैं, वह ज्यामितीय अवधारणाओं और बयानों के समर्थन से तैयार और तर्क दिया गया था। इस प्रकार, यह मध्य युग में अस्तित्व में था, हालाँकि कभी-कभी इसमें विश्लेषणात्मक तरीकों का भी उपयोग किया जाता था, विशेषकर लघुगणक के उद्भव के बाद। शायद, त्रिकोणमिति के निर्माण के लिए अधिकतम प्रोत्साहन खगोल विज्ञान की समस्याओं के समाधान के संबंध में दिखाई दिया, जिसने अत्यधिक सकारात्मक रुचि दी (उदाहरण के लिए, किसी जहाज के स्थान का निर्धारण करने, ब्लैकआउट की भविष्यवाणी करने आदि की समस्याओं को हल करने के लिए)। ज्योतिषी गोलाकार त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों में रुचि रखते थे। और प्राचीन काल के अंकगणितज्ञों ने पूछे गए प्रश्नों का सफलतापूर्वक सामना किया।

17वीं शताब्दी से शुरू होकर, त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग समीकरणों, यांत्रिकी, प्रकाशिकी, बिजली, रेडियो इंजीनियरिंग के प्रश्नों को हल करने के लिए, दोलन क्रियाओं, तरंग प्रसार, विभिन्न तत्वों की गति को प्रदर्शित करने, वैकल्पिक गैल्वेनिक धारा आदि का अध्ययन करने के लिए किया जाने लगा। इस कारण से, त्रिकोणमितीय कार्यों का व्यापक और गहराई से अध्ययन किया गया है, और पूरे गणित के लिए महत्वपूर्ण महत्व प्राप्त किया है।

त्रिकोणमितीय कार्यों का विश्लेषणात्मक सिद्धांत मुख्य रूप से 18वीं सदी के उत्कृष्ट गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर (1707-1783) द्वारा बनाया गया था, जो सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य थे। यूलर की विशाल वैज्ञानिक विरासत में गणितीय विश्लेषण, ज्यामिति, संख्या सिद्धांत, यांत्रिकी और गणित के अन्य अनुप्रयोगों से संबंधित शानदार परिणाम शामिल हैं। यह यूलर ही थे जिन्होंने सबसे पहले त्रिकोणमितीय कार्यों की प्रसिद्ध परिभाषाएँ पेश कीं, एक मनमाना कोण के कार्यों पर विचार करना शुरू किया और कमी सूत्र प्राप्त किए। यूलर के बाद, त्रिकोणमिति ने कैलकुलस का रूप ले लिया: त्रिकोणमिति सूत्रों के औपचारिक अनुप्रयोग के माध्यम से विभिन्न तथ्य सिद्ध होने लगे, प्रमाण अधिक संक्षिप्त और सरल हो गए,

इस प्रकार, त्रिकोणमिति, जो त्रिकोणों को हल करने के विज्ञान के रूप में उत्पन्न हुई, अंततः त्रिकोणमितीय कार्यों के विज्ञान में विकसित हुई।

बाद में, त्रिकोणमिति का हिस्सा, जो त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणों और उनके बीच निर्भरता का अध्ययन करता है, को गोनियोमेट्री कहा जाने लगा (कोणों को मापने के विज्ञान के रूप में अनुवादित, ग्रीक ग्वनिया से - कोण, मेट्रू - मैं मापता हूं)। गोनियोमेट्री शब्द का प्रयोग हाल ही में शायद ही किया गया हो।

2. त्रिकोणमिति और वास्तविक जीवन

आधुनिक समाज की विशेषता निरंतर परिवर्तन, खोज और उच्च तकनीक वाले आविष्कारों का निर्माण है जो हमारे जीवन को बेहतर बनाते हैं। त्रिकोणमिति भौतिकी, जीव विज्ञान, गणित, चिकित्सा, भूभौतिकी, नेविगेशन, कंप्यूटर विज्ञान से मिलती है और बातचीत करती है।

आइए क्रम से प्रत्येक उद्योग में होने वाली अंतःक्रियाओं पर एक नजर डालें।

2.1.नेविगेशन

पहला बिंदु जो हमें त्रिकोणमिति के उपयोग और लाभों को समझाता है वह नेविगेशन के साथ इसका संबंध है। नेविगेशन से हमारा तात्पर्य एक ऐसे विज्ञान से है जिसका लक्ष्य नेविगेशन के सबसे सुविधाजनक और उपयोगी तरीकों का अध्ययन करना और उनका निर्माण करना है। इस प्रकार, वैज्ञानिक सरल नेविगेशन विकसित कर रहे हैं, जिसमें एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक मार्ग बनाना, उसका मूल्यांकन करना और प्रस्तावित सभी में से सबसे अच्छा विकल्प चुनना शामिल है। ये मार्ग उन नाविकों के लिए आवश्यक हैं, जो अपनी यात्रा के दौरान यात्रा के दौरान कई कठिनाइयों, बाधाओं और प्रश्नों का सामना करते हैं। नेविगेशन भी आवश्यक है: पायलट जो जटिल, उच्च तकनीक वाले विमान उड़ाते हैं, वे कभी-कभी बहुत चरम स्थितियों में नेविगेट करते हैं; अंतरिक्ष यात्री जिनके काम में जीवन का जोखिम, जटिल मार्ग निर्माण और उसका विकास शामिल है। आइए निम्नलिखित अवधारणाओं और कार्यों का अधिक विस्तार से अध्ययन करें। एक समस्या के रूप में, हम निम्नलिखित स्थिति की कल्पना कर सकते हैं: हम भौगोलिक निर्देशांक जानते हैं: पृथ्वी की सतह पर बिंदु ए और बी के बीच अक्षांश और देशांतर। पृथ्वी की सतह पर बिंदु A और B के बीच सबसे छोटा रास्ता खोजना आवश्यक है (पृथ्वी की त्रिज्या ज्ञात मानी जाती है: R = 6371 किमी)।

हम इस समस्या के समाधान की कल्पना भी कर सकते हैं, अर्थात्: पहले हम स्पष्ट करते हैं कि पृथ्वी की सतह पर एक बिंदु M का अक्षांश त्रिज्या OM द्वारा बनाए गए कोण का मान है, जहाँ O पृथ्वी का केंद्र है, भूमध्य रेखा के साथ समतल: ≤ , और भूमध्य रेखा के उत्तर में अक्षांश को सकारात्मक माना जाता है, और दक्षिण में - नकारात्मक। बिंदु M के देशांतर के लिए हम COM और SON तलों में गुजरने वाले डायहेड्रल कोण का मान लेंगे। C से हमारा तात्पर्य पृथ्वी के उत्तरी ध्रुव से है। एच के रूप में हम ग्रीनविच वेधशाला के अनुरूप बिंदु को समझते हैं: ≤ (ग्रीनविच मेरिडियन के पूर्व में, देशांतर को सकारात्मक माना जाता है, पश्चिम में - नकारात्मक)। जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, पृथ्वी की सतह पर बिंदु ए और बी के बीच की सबसे छोटी दूरी को बड़े वृत्त के सबसे छोटे चाप की लंबाई से दर्शाया जाता है जो ए और बी को जोड़ता है। हम इस प्रकार के चाप को ऑर्थोड्रोम कह सकते हैं। ग्रीक से अनुवादित, इस शब्द को समकोण के रूप में समझा जाता है। इस कारण से, हमारा कार्य गोलाकार त्रिभुज ABC की भुजा AB की लंबाई निर्धारित करना है, जहाँ C उत्तरी पोलिस को संदर्भित करता है।

एक दिलचस्प उदाहरण निम्नलिखित है. नाविकों द्वारा मार्ग बनाते समय, सटीक और श्रमसाध्य कार्य आवश्यक है। इसलिए, मानचित्र पर जहाज के मार्ग को चित्रित करने के लिए, जो 1569 में गेरहार्ड मर्केटर के प्रक्षेपण में बनाया गया था, अक्षांश निर्धारित करने की तत्काल आवश्यकता थी। हालाँकि, 17वीं शताब्दी तक समुद्र में जाते समय, नाविक अक्षांश का संकेत नहीं देते थे। एडमंड गुंथर (1623) नेविगेशन में त्रिकोणमितीय गणनाओं का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे।

इसकी मदद से, त्रिकोणमिति, पायलट विमान के सबसे सटीक और सुरक्षित नियंत्रण के लिए हवा की त्रुटियों की गणना कर सकते हैं। इन गणनाओं को करने के लिए, हम वेग त्रिकोण का संदर्भ लेते हैं। यह त्रिभुज परिणामी वायु गति (V), पवन वेक्टर (W), और ज़मीनी गति वेक्टर (Vp) को व्यक्त करता है। पीयू हेडिंग एंगल है, यूवी विंड हेडिंग एंगल है, केयूवी विंड हेडिंग एंगल है (चित्र 5)।

गति के नेविगेशन त्रिकोण के तत्वों के बीच संबंध के प्रकार से खुद को परिचित करने के लिए, आपको नीचे देखना होगा:

वीपी =वी कॉस यूएस + डब्ल्यू कॉस यूवी; पाप सीवी = * पाप सीवी, टीजी सीवी

गति के नेविगेशन त्रिकोण को हल करने के लिए, नेविगेशन शासक और मानसिक गणना का उपयोग करके गणना उपकरणों का उपयोग किया जाता है।

2.2.बीजगणित

त्रिकोणमिति के बीच परस्पर क्रिया का अगला क्षेत्र बीजगणित है। यह त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए धन्यवाद है कि बहुत जटिल समीकरणों और समस्याओं को हल किया जाता है जिनके लिए बड़ी गणना की आवश्यकता होती है।

जैसा कि हम जानते हैं, उन सभी मामलों में जहां आवधिक प्रक्रियाओं और दोलनों के साथ बातचीत करना आवश्यक होता है, हम त्रिकोणमितीय कार्यों के उपयोग पर आते हैं। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह क्या है: ध्वनिकी, प्रकाशिकी या पेंडुलम का घुमाव।

2.3.भौतिकी

नेविगेशन और बीजगणित के अलावा, त्रिकोणमिति का भौतिकी में सीधा प्रभाव और प्रभाव है। जब वस्तुओं को पानी में डुबोया जाता है तो उनका आकार या आयतन किसी भी तरह से नहीं बदलता है। संपूर्ण रहस्य एक दृश्य प्रभाव है जो हमारी दृष्टि को किसी वस्तु को अलग ढंग से देखने के लिए मजबूर करता है। सरल त्रिकोणमितीय सूत्र और अर्ध-रेखा के आपतन और अपवर्तन कोण की ज्या के मान से प्रकाश किरण के एक गोले से दूसरे गोले में जाने पर स्थिर अपवर्तनांक की गणना करना संभव हो जाता है। उदाहरण के लिए, इंद्रधनुष इस तथ्य के कारण दिखाई देता है कि सूर्य का प्रकाश अपवर्तन के नियम के अनुसार हवा में निलंबित पानी की बूंदों में अपवर्तित होता है:

पाप α / पाप β = n1 / n2

जहाँ: n1 पहले माध्यम का अपवर्तनांक है; n2 दूसरे माध्यम का अपवर्तनांक है; α-आपतन कोण, β-प्रकाश के अपवर्तन का कोण।

ग्रहों के वायुमंडल की ऊपरी परतों में आवेशित सौर वायु तत्वों का प्रवेश पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र की सौर वायु के साथ परस्पर क्रिया के कारण होता है।

चुंबकीय क्षेत्र में घूम रहे आवेशित कण पर लगने वाले बल को लोरेंत्ज़ बल कहा जाता है। यह कण के आवेश और क्षेत्र के वेक्टर उत्पाद और कण की गति के समानुपाती होता है।

भौतिकी में त्रिकोणमिति के प्रयोग के व्यावहारिक पहलुओं का खुलासा करते हुए हम एक उदाहरण देंगे। इस समस्या को त्रिकोणमितीय सूत्रों और समाधान विधियों का उपयोग करके हल किया जाना चाहिए। समस्या की स्थिति: 90 किलोग्राम वजन वाला एक पिंड 24.5° के कोण के साथ एक झुके हुए तल पर स्थित है। यह पता लगाना आवश्यक है कि झुके हुए तल पर पिंड पर कौन सा बल दबाव डाल रहा है (अर्थात्, पिंड इस तल पर कितना दबाव डाल रहा है) (चित्र 6)।

एक्स और वाई अक्षों को निर्दिष्ट करने के बाद, हम पहले इस सूत्र का उपयोग करके अक्ष पर बलों के अनुमान बनाना शुरू करते हैं:

मा = एन + एमजी, फिर चित्र देखें,

एक्स: मा = 0 + मिलीग्राम पाप24.50

Y: 0 = N – mg cos24.50

हम द्रव्यमान को प्रतिस्थापित करते हैं और पाते हैं कि बल 819 N है।

उत्तर: 819 एन

2.4.चिकित्सा, जीव विज्ञान और बायोरिदम

चौथा क्षेत्र जहां त्रिकोणमिति का बड़ा प्रभाव और सहायता है वह दो क्षेत्रों में है: चिकित्सा और जीव विज्ञान।

जीवित प्रकृति के मूलभूत गुणों में से एक इसमें होने वाली अधिकांश प्रक्रियाओं की चक्रीय प्रकृति है। आकाशीय पिंडों की गति और पृथ्वी पर जीवित जीवों के बीच एक संबंध है। जीवित जीव न केवल सूर्य और चंद्रमा की रोशनी और गर्मी को ग्रहण करते हैं, बल्कि उनके पास विभिन्न तंत्र भी होते हैं जो सूर्य की स्थिति को सटीक रूप से निर्धारित करते हैं, ज्वार की लय, चंद्रमा के चरणों और हमारे ग्रह की गति पर प्रतिक्रिया करते हैं।

जैविक लय, बायोरिदम, जैविक प्रक्रियाओं की प्रकृति और तीव्रता में कमोबेश नियमित परिवर्तन हैं। जीवन गतिविधि में ऐसे परिवर्तन करने की क्षमता विरासत में मिलती है और लगभग सभी जीवित जीवों में पाई जाती है। उन्हें व्यक्तिगत कोशिकाओं, ऊतकों और अंगों, संपूर्ण जीवों और आबादी में देखा जा सकता है। बायोरिदम को विभाजित किया गया है शारीरिक, एक सेकंड के अंश से लेकर कई मिनट तक की अवधि होना और पर्यावरण,पर्यावरण की किसी भी लय के साथ मेल खाने वाली अवधि। इनमें दैनिक, मौसमी, वार्षिक, ज्वारीय और चंद्र लय शामिल हैं। मुख्य सांसारिक लय दैनिक है, जो पृथ्वी के अपनी धुरी के चारों ओर घूमने से निर्धारित होती है, इसलिए जीवित जीव में लगभग सभी प्रक्रियाओं की दैनिक आवधिकता होती है।

हमारे ग्रह पर कई पर्यावरणीय कारक, मुख्य रूप से प्रकाश की स्थिति, तापमान, वायु दबाव और आर्द्रता, वायुमंडलीय और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, समुद्री ज्वार, इस घूर्णन के प्रभाव में स्वाभाविक रूप से बदलते हैं।

हम पचहत्तर प्रतिशत पानी हैं, और यदि पूर्णिमा के समय दुनिया के महासागरों का पानी समुद्र तल से 19 मीटर ऊपर बढ़ जाता है और ज्वार शुरू हो जाता है, तो हमारे शरीर का पानी भी हमारे शरीर के ऊपरी हिस्सों तक पहुंच जाता है। और उच्च रक्तचाप वाले लोग अक्सर इन अवधियों के दौरान बीमारी के बढ़ने का अनुभव करते हैं, और औषधीय जड़ी-बूटियों को इकट्ठा करने वाले प्रकृतिवादियों को ठीक से पता होता है कि चंद्रमा के किस चरण में "शीर्ष - (फल)" इकट्ठा करना है, और किस चरण में - "जड़ें"।

क्या आपने देखा है कि कुछ निश्चित अवधियों में आपका जीवन अकथनीय छलांगें लगाता है? अचानक, कहीं से भी भावनाएँ उमड़ पड़ती हैं। संवेदनशीलता बढ़ जाती है, जो अचानक पूर्ण उदासीनता का मार्ग प्रशस्त कर सकती है। रचनात्मक और निष्फल दिन, खुश और दुखी क्षण, अचानक मूड में बदलाव। यह देखा गया है कि मानव शरीर की क्षमताएँ समय-समय पर बदलती रहती हैं। यह ज्ञान "तीन बायोरिदम के सिद्धांत" का आधार है।

शारीरिक बायोरिदम - शारीरिक गतिविधि को नियंत्रित करता है। शारीरिक चक्र के पहले भाग के दौरान, एक व्यक्ति ऊर्जावान होता है और अपनी गतिविधियों में बेहतर परिणाम प्राप्त करता है (दूसरे भाग में - ऊर्जा आलस्य का मार्ग प्रशस्त करती है)।

भावनात्मक लय - इसकी गतिविधि की अवधि के दौरान, संवेदनशीलता बढ़ जाती है और मूड में सुधार होता है। एक व्यक्ति विभिन्न बाहरी आपदाओं के प्रति उत्तेजित हो जाता है। यदि वह अच्छे मूड में है, तो वह हवा में महल बनाता है, प्यार में पड़ने के सपने देखता है और प्यार में पड़ जाता है। जब भावनात्मक बायोरिदम कम हो जाता है, तो मानसिक शक्ति कम हो जाती है, इच्छा और आनंदमय मनोदशा गायब हो जाती है।

बौद्धिक बायोरिदम - यह स्मृति, सीखने की क्षमता और तार्किक सोच को नियंत्रित करता है। गतिविधि चरण में वृद्धि होती है, और दूसरे चरण में रचनात्मक गतिविधि में गिरावट आती है, भाग्य और सफलता नहीं मिलती है।

तीन लय सिद्धांत:

· शारीरिक चक्र - 23 दिन. ऊर्जा, शक्ति, सहनशक्ति, गति का समन्वय निर्धारित करता है

· भावनात्मक चक्र - 28 दिन. तंत्रिका तंत्र और मनोदशा की स्थिति

· बौद्धिक चक्र - 33 दिन. व्यक्ति की रचनात्मक क्षमता को निर्धारित करता है

त्रिकोणमिति प्रकृति में भी होती है। पानी में मछली की गति साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार होती है, यदि आप पूंछ पर एक बिंदु तय करते हैं और फिर गति के प्रक्षेपवक्र पर विचार करते हैं। तैरते समय, मछली का शरीर एक वक्र का आकार ले लेता है जो फ़ंक्शन y=tgx के ग्राफ़ जैसा दिखता है।

जब एक पक्षी उड़ता है, तो फड़फड़ाते पंखों का प्रक्षेप पथ एक साइनसॉइड बनाता है।

चिकित्सा में त्रिकोणमिति. ईरानी शिराज विश्वविद्यालय के छात्र वाहिद-रेजा अब्बासी द्वारा किए गए एक अध्ययन के परिणामस्वरूप, डॉक्टर पहली बार हृदय की विद्युत गतिविधि, या, दूसरे शब्दों में, इलेक्ट्रोकार्डियोग्राफी से संबंधित जानकारी व्यवस्थित करने में सक्षम हुए।

तेहरान नामक सूत्र को भौगोलिक चिकित्सा के 14वें सम्मेलन में और फिर नीदरलैंड में आयोजित कार्डियोलॉजी में कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के उपयोग पर 28वें सम्मेलन में सामान्य वैज्ञानिक समुदाय के सामने प्रस्तुत किया गया था।

यह सूत्र एक जटिल बीजगणितीय-त्रिकोणमितीय समीकरण है जिसमें 8 अभिव्यक्तियाँ, 32 गुणांक और 33 मुख्य पैरामीटर शामिल हैं, जिनमें अतालता के मामलों में गणना के लिए कई अतिरिक्त पैरामीटर भी शामिल हैं। डॉक्टरों के अनुसार, यह सूत्र हृदय गतिविधि के मुख्य मापदंडों का वर्णन करने की प्रक्रिया को बहुत सुविधाजनक बनाता है, जिससे निदान और उपचार की शुरुआत में तेजी आती है।

बहुत से लोगों को हृदय का कार्डियोग्राम करना होता है, लेकिन कम ही लोग जानते हैं कि मानव हृदय का कार्डियोग्राम एक साइन या कोसाइन ग्राफ होता है।

त्रिकोणमिति हमारे मस्तिष्क को वस्तुओं से दूरी निर्धारित करने में मदद करती है। अमेरिकी वैज्ञानिकों का दावा है कि मस्तिष्क पृथ्वी के तल और दृष्टि के तल के बीच के कोण को मापकर वस्तुओं से दूरी का अनुमान लगाता है। यह निष्कर्ष प्रयोगों की एक श्रृंखला के बाद बनाया गया था जिसमें प्रतिभागियों को इस कोण को बढ़ाने वाले प्रिज्म के माध्यम से अपने आस-पास की दुनिया को देखने के लिए कहा गया था।

इस विकृति के कारण यह तथ्य सामने आया कि प्रायोगिक प्रिज्म वाहक दूर की वस्तुओं को करीब मानते थे और सरलतम परीक्षणों का सामना नहीं कर पाते थे। प्रयोगों में भाग लेने वाले कुछ लोग आगे की ओर झुक गए और अपने शरीर को पृथ्वी की ग़लत कल्पना की गई सतह के लंबवत संरेखित करने का प्रयास करने लगे। हालाँकि, 20 मिनट के बाद उन्हें विकृत धारणा की आदत हो गई और सभी समस्याएं गायब हो गईं। यह परिस्थिति उस तंत्र के लचीलेपन को इंगित करती है जिसके द्वारा मस्तिष्क दृश्य प्रणाली को बदलती बाहरी परिस्थितियों के अनुकूल बनाता है। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि प्रिज्म को हटा दिए जाने के बाद, कुछ समय के लिए विपरीत प्रभाव देखा गया - दूरी का अधिक अनुमान।

जैसा कि कोई मान सकता है, नए अध्ययन के नतीजे उन इंजीनियरों के लिए दिलचस्प होंगे जो रोबोट के लिए नेविगेशन सिस्टम डिज़ाइन करते हैं, साथ ही विशेषज्ञ जो सबसे यथार्थवादी आभासी मॉडल बनाने पर काम करते हैं। मस्तिष्क के कुछ क्षेत्रों में क्षति वाले रोगियों के पुनर्वास में, चिकित्सा के क्षेत्र में भी इसका उपयोग संभव है।

2.5.संगीत

संगीत क्षेत्र भी त्रिकोणमिति के साथ अंतःक्रिया करता है।

मैं आपके ध्यान में एक निश्चित विधि के बारे में दिलचस्प जानकारी प्रस्तुत करता हूं जो त्रिकोणमिति और संगीत के बीच सटीक संबंध प्रदान करती है।

संगीत कार्यों के विश्लेषण की इस पद्धति को "ज्यामितीय संगीत सिद्धांत" कहा जाता है। इसकी सहायता से बुनियादी संगीत संरचनाओं और परिवर्तनों को आधुनिक ज्यामिति की भाषा में अनुवादित किया जाता है।

नए सिद्धांत के ढांचे के भीतर प्रत्येक नोट को संबंधित ध्वनि की आवृत्ति के लघुगणक के रूप में दर्शाया गया है (उदाहरण के लिए, पहले सप्तक का नोट "सी", संख्या 60 से मेल खाता है, सप्तक संख्या 12 से मेल खाता है)। इस प्रकार जीवा को ज्यामितीय स्थान में दिए गए निर्देशांक के साथ एक बिंदु के रूप में दर्शाया जाता है। कॉर्ड्स को अलग-अलग "परिवारों" में समूहीकृत किया जाता है जो विभिन्न प्रकार के ज्यामितीय स्थानों के अनुरूप होते हैं।

एक नई विधि विकसित करते समय, लेखकों ने 5 ज्ञात प्रकार के संगीत परिवर्तनों का उपयोग किया, जिन्हें पहले ध्वनि अनुक्रमों को वर्गीकृत करते समय संगीत सिद्धांत में ध्यान में नहीं रखा गया था - ऑक्टेव क्रमपरिवर्तन (ओ), क्रमपरिवर्तन (पी), ट्रांसपोज़िशन (टी), व्युत्क्रम (आई) और कार्डिनैलिटी में परिवर्तन (सी)। ये सभी परिवर्तन, जैसा कि लेखक लिखते हैं, एन-आयामी अंतरिक्ष में तथाकथित ऑप्टिक समरूपता बनाते हैं और तार के बारे में संगीत संबंधी जानकारी संग्रहीत करते हैं - किस सप्तक में इसके नोट स्थित हैं, उन्हें किस क्रम में बजाया जाता है, कितनी बार दोहराया जाता है, वगैरह। ऑप्टिक समरूपता का उपयोग करते हुए, समान लेकिन समान नहीं जीवाओं और उनके अनुक्रमों को वर्गीकृत किया जाता है।

लेख के लेखक बताते हैं कि इन 5 समरूपताओं के विभिन्न संयोजन कई अलग-अलग संगीत संरचनाएं बनाते हैं, जिनमें से कुछ पहले से ही संगीत सिद्धांत में ज्ञात हैं (एक तार अनुक्रम, उदाहरण के लिए, ओपीसी के रूप में नए शब्दों में व्यक्त किया जाएगा), जबकि अन्य मौलिक रूप से हैं नई अवधारणाएँ, जो शायद, भविष्य के संगीतकारों द्वारा अपनाई जाएंगी।

उदाहरण के तौर पर, लेखक चार ध्वनियों के विभिन्न प्रकार के तारों का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व देते हैं - एक टेट्राहेड्रोन। ग्राफ़ पर गोले जीवाओं के प्रकारों को दर्शाते हैं, गोले के रंग राग की ध्वनियों के बीच के अंतराल के आकार के अनुरूप होते हैं: नीला - छोटे अंतराल, गर्म स्वर - राग की अधिक "विरल" ध्वनियाँ। लाल गोला स्वरों के बीच समान अंतराल वाला सबसे सामंजस्यपूर्ण राग है, जो 19वीं शताब्दी के संगीतकारों के बीच लोकप्रिय था।

अध्ययन के लेखकों के अनुसार, संगीत विश्लेषण की "ज्यामितीय" पद्धति मौलिक रूप से नए संगीत वाद्ययंत्रों और संगीत की कल्पना करने के नए तरीकों के निर्माण के साथ-साथ संगीत सिखाने के आधुनिक तरीकों और विभिन्न अध्ययन के तरीकों में बदलाव ला सकती है। संगीत शैलियाँ (शास्त्रीय, पॉप, रॉक)। संगीत, आदि)। नई शब्दावली विभिन्न युगों के संगीतकारों के संगीत कार्यों की अधिक गहराई से तुलना करने और शोध परिणामों को अधिक सुविधाजनक गणितीय रूप में प्रस्तुत करने में भी मदद करेगी। दूसरे शब्दों में, उनके गणितीय सार को संगीत कार्यों से अलग करने का प्रस्ताव है।

पहले, दूसरे आदि में एक ही नोट के अनुरूप आवृत्तियाँ। सप्तक, 1:2:4:8 के रूप में संबंधित हैं... प्राचीन काल से चली आ रही किंवदंतियों के अनुसार, सबसे पहले जिन्होंने ऐसा करने की कोशिश की थी वे पाइथागोरस और उनके शिष्य थे।

डायटोनिक स्केल 2:3:5 (चित्र 8)।

2.6.सूचना विज्ञान

त्रिकोणमिति ने, अपने प्रभाव से, कंप्यूटर विज्ञान को नजरअंदाज नहीं किया। इस प्रकार, इसके कार्य सटीक गणना के लिए लागू होते हैं। इस बिंदु के लिए धन्यवाद, हम किसी भी (एक अर्थ में "अच्छा") फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करके अनुमानित कर सकते हैं:

a0 + a1 cos x + b1 पाप x + a2 cos 2x + b2 पाप 2x + a3 cos 3x + b3 पाप 3x + ...

किसी संख्या को सबसे उपयुक्त तरीके से चुनने की प्रक्रिया, संख्याओं a0, a1, b1, a2, b2, ... को कंप्यूटर में लगभग किसी भी फ़ंक्शन द्वारा ऐसे (अनंत) योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। आवश्यक सटीकता.

ग्राफिक जानकारी के साथ काम करने के विकास और प्रक्रिया में त्रिकोणमिति एक गंभीर भूमिका और सहायता निभाती है। यदि आपको एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक निश्चित वस्तु के घूर्णन के साथ, इलेक्ट्रॉनिक रूप में विवरण के साथ एक प्रक्रिया का अनुकरण करने की आवश्यकता है। एक घूर्णन एक निश्चित कोण पर होता है। बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, आपको ज्या और कोज्या से गुणा करना होगा।

इसलिए, हम Google ग्राफ़िका लैब में काम करने वाले प्रोग्रामर और डिज़ाइनर जस्टिन विंडेल का उदाहरण दे सकते हैं। उन्होंने एक डेमो प्रकाशित किया जो गतिशील एनीमेशन बनाने के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करने का एक उदाहरण दिखाता है।

2.7. निर्माण और भूगणित का क्षेत्र

त्रिकोणमिति के साथ परस्पर क्रिया करने वाली एक दिलचस्प शाखा निर्माण और भूगणित का क्षेत्र है। भुजाओं की लंबाई और समतल पर एक मनमाना त्रिभुज के कोणों का मान कुछ संबंधों द्वारा एक दूसरे से संबंधित होते हैं, जिनमें से सबसे महत्वपूर्ण को कोज्या और ज्या के प्रमेय कहा जाता है। ए, बी, सी युक्त सूत्रों का अर्थ है कि अक्षरों को त्रिभुज की भुजाओं द्वारा दर्शाया गया है, जो क्रमशः कोण ए, बी, सी के विपरीत स्थित हैं। ये सूत्र त्रिभुज के तीन तत्वों की अनुमति देते हैं - भुजाओं की लंबाई और कोण - शेष तीन तत्वों को पुनर्स्थापित करने के लिए. इनका उपयोग व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में किया जाता है, उदाहरण के लिए भूगणित में।

सभी "शास्त्रीय" भूगणित त्रिकोणमिति पर आधारित है। चूँकि, वास्तव में, प्राचीन काल से ही सर्वेक्षणकर्ताओं की रुचि त्रिभुजों को "सुलझाने" में रही है।

इमारतों, पटरियों, पुलों और अन्य इमारतों को खड़ा करने की प्रक्रिया सर्वेक्षण और डिजाइन कार्य से शुरू होती है। बिना किसी अपवाद के, निर्माण स्थल पर सभी माप जियोडेटिक उपकरणों, जैसे कि कुल स्टेशन और त्रिकोणमितीय स्तर के समर्थन से किए जाते हैं। त्रिकोणमितीय समतलन करते समय, पृथ्वी की सतह पर कई बिंदुओं के बीच ऊंचाई का अंतर स्थापित किया जाता है।

2.8 कला और वास्तुकला में त्रिकोणमिति

जब से मनुष्य का पृथ्वी पर अस्तित्व शुरू हुआ, तब से विज्ञान रोजमर्रा की जिंदगी और जीवन के अन्य क्षेत्रों में सुधार का आधार बन गया है। मनुष्य द्वारा बनाई गई हर चीज़ की नींव प्राकृतिक और गणितीय विज्ञान के विभिन्न क्षेत्र हैं। उनमें से एक है ज्यामिति। वास्तुकला विज्ञान का एकमात्र क्षेत्र नहीं है जिसमें त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग किया जाता है। अधिकांश रचनात्मक निर्णय और रेखाचित्रों का निर्माण सटीक रूप से ज्यामिति की सहायता से हुआ। लेकिन सैद्धांतिक डेटा का कोई मतलब नहीं है. आइए कला के स्वर्ण युग के एक फ्रांसीसी मास्टर द्वारा एक मूर्ति के निर्माण के एक उदाहरण पर विचार करें।

प्रतिमा के निर्माण में आनुपातिक संबंध आदर्श था। हालाँकि, जब मूर्ति को ऊँचे आसन पर खड़ा किया गया तो वह बदसूरत दिखने लगी। मूर्तिकार ने इस बात पर ध्यान नहीं दिया कि परिप्रेक्ष्य में, क्षितिज की ओर, कई विवरण कम हो जाते हैं और नीचे से ऊपर देखने पर उसकी आदर्शता का आभास नहीं रह जाता है। यह सुनिश्चित करने के लिए कई गणनाएँ की गईं कि बड़ी ऊँचाई से आकृति आनुपातिक दिखे। वे मुख्य रूप से देखने की विधि पर आधारित थे, यानी आँख से अनुमानित माप। हालाँकि, कुछ अनुपातों के अंतर गुणांक ने आंकड़े को आदर्श के करीब बनाना संभव बना दिया। इस प्रकार, मूर्ति से देखने के बिंदु तक की अनुमानित दूरी, अर्थात् मूर्ति के शीर्ष से व्यक्ति की आंखों तक और मूर्ति की ऊंचाई को जानकर, हम एक तालिका का उपयोग करके टकटकी के घटना कोण की साइन की गणना कर सकते हैं, इस प्रकार दृष्टिकोण का पता चलता है (चित्र 9)।

चित्र 10 में, स्थिति बदल जाती है, क्योंकि प्रतिमा को ऊँचाई AC तक उठाया जाता है और NS बढ़ता है, हम कोण C के कोसाइन के मानों की गणना कर सकते हैं, और तालिका से हम टकटकी के घटना कोण का पता लगाएंगे। इस प्रक्रिया में, आप एएन, साथ ही कोण सी की साइन की गणना कर सकते हैं, जो आपको मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके परिणामों की जांच करने की अनुमति देगा। ओल 2 ए+ पाप 2 ए = 1.

पहले और दूसरे मामले में एएन माप की तुलना करके, कोई आनुपातिकता गुणांक पा सकता है। इसके बाद, हमें एक चित्र प्राप्त होगा, और फिर एक मूर्तिकला, जब उठाया जाएगा, तो आकृति दृष्टि से आदर्श के करीब होगी

दुनिया भर में प्रतिष्ठित इमारतों को गणित की बदौलत डिजाइन किया गया था, जिसे वास्तुकला की प्रतिभा माना जा सकता है। ऐसी इमारतों के कुछ प्रसिद्ध उदाहरण: बार्सिलोना में गौडी चिल्ड्रेन स्कूल, लंदन में मैरी एक्स स्काईस्क्रेपर, स्पेन में बोदेगास इसियोस वाइनरी, अर्जेंटीना में लॉस मैनेंटियल्स में रेस्तरां। इन इमारतों को डिज़ाइन करते समय त्रिकोणमिति शामिल थी।

निष्कर्ष

त्रिकोणमिति के सैद्धांतिक और व्यावहारिक पहलुओं का अध्ययन करने के बाद, मुझे एहसास हुआ कि यह शाखा कई विज्ञानों से निकटता से संबंधित है। शुरुआत में, कोणों के बीच माप बनाने और लेने के लिए त्रिकोणमिति की आवश्यकता थी। हालाँकि, बाद में कोणों का सरल माप त्रिकोणमितीय कार्यों का अध्ययन करने वाले एक पूर्ण विज्ञान में विकसित हुआ। हम निम्नलिखित क्षेत्रों की पहचान कर सकते हैं जिनमें त्रिकोणमिति और वास्तुकला, प्रकृति, चिकित्सा और जीव विज्ञान के भौतिकी के बीच घनिष्ठ संबंध है।

इस प्रकार, चिकित्सा में त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए धन्यवाद, हृदय सूत्र की खोज की गई, जो एक जटिल बीजगणितीय-त्रिकोणमितीय समानता है, जिसमें 8 अभिव्यक्ति, 32 गुणांक और 33 बुनियादी पैरामीटर शामिल हैं, जिसमें अतालता होने पर अतिरिक्त गणना की संभावना भी शामिल है। यह खोज डॉक्टरों को अधिक योग्य और उच्च गुणवत्ता वाली चिकित्सा देखभाल प्रदान करने में मदद करती है।

आइए हम भी ध्यान दें. कि सभी शास्त्रीय भूगणित त्रिकोणमिति पर आधारित है। चूँकि, वास्तव में, प्राचीन काल से ही सर्वेक्षणकर्ता त्रिभुजों को "सुलझाने" में लगे हुए हैं। इमारतों, सड़कों, पुलों और अन्य संरचनाओं के निर्माण की प्रक्रिया सर्वेक्षण और डिजाइन कार्य से शुरू होती है। निर्माण स्थल पर सभी माप थियोडोलाइट और त्रिकोणमितीय स्तर जैसे सर्वेक्षण उपकरणों का उपयोग करके किए जाते हैं। त्रिकोणमितीय समतलन के साथ, पृथ्वी की सतह पर कई बिंदुओं के बीच ऊंचाई का अंतर निर्धारित किया जाता है।

अन्य क्षेत्रों में इसके प्रभाव से परिचित होकर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि त्रिकोणमिति मानव जीवन को सक्रिय रूप से प्रभावित करती है। गणित और बाहरी दुनिया के बीच संबंध हमें स्कूली बच्चों के ज्ञान को "भौतिक" बनाने की अनुमति देता है। इसके लिए धन्यवाद, हम स्कूल में सिखाए गए ज्ञान और जानकारी को अधिक पर्याप्त रूप से समझ और आत्मसात कर सकते हैं।

मेरे प्रोजेक्ट का लक्ष्य सफलतापूर्वक पूरा हो गया. मैंने जीवन में त्रिकोणमिति के प्रभाव और उसमें रुचि के विकास का अध्ययन किया।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, हमने निम्नलिखित कार्य पूरे किए:

1. हम त्रिकोणमिति के निर्माण और विकास के इतिहास से परिचित हुए;

2. गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में त्रिकोणमिति के व्यावहारिक प्रभाव के उदाहरणों पर विचार किया गया;

3. उदाहरण सहित त्रिकोणमिति की सम्भावनाओं तथा मानव जीवन में इसके अनुप्रयोग को दर्शाया।

इस उद्योग के उद्भव के इतिहास का अध्ययन करने से स्कूली बच्चों में रुचि जगाने, सही विश्वदृष्टि बनाने और हाई स्कूल के छात्रों की सामान्य संस्कृति में सुधार करने में मदद मिलेगी।

यह कार्य हाई स्कूल के छात्रों के लिए उपयोगी होगा जिन्होंने अभी तक त्रिकोणमिति की सुंदरता नहीं देखी है और अपने आसपास के जीवन में इसके अनुप्रयोग के क्षेत्रों से परिचित नहीं हैं।

ग्रन्थसूची

ग्लेज़र जी.आई.

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रब्बनिकोव के.ए.

ग्रन्थसूची

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परिशिष्ट 1

चित्र .1पिरामिड छवि. ढलान की गणना बी / एच।

अन्य अनुभाग

शब्द "त्रिकोणमिति" पहली बार (1505) जर्मन धर्मशास्त्री और गणितज्ञ पिटिस्कस की पुस्तक के शीर्षक में पाया गया। इस शब्द की उत्पत्ति ग्रीक है: एक्सपिरोवोव - त्रिकोण, त्सेट्रेसो - माप। दूसरे शब्दों में, त्रिकोणमिति त्रिभुजों को मापने का विज्ञान है। हालाँकि यह नाम अपेक्षाकृत हाल ही में सामने आया, त्रिकोणमिति से संबंधित कई अवधारणाएँ और तथ्य दो हजार साल पहले ही ज्ञात थे।

इस अवधारणा का एक लंबा इतिहास हैसाइनस वास्तव में, एक त्रिभुज और एक वृत्त (और, संक्षेप में, त्रिकोणमितीय फलन) के खंडों के विभिन्न अनुपात तीसरी शताब्दी में ही पाए गए थे। ईसा पूर्व इ। प्राचीन ग्रीस के महान गणितज्ञों के कार्यों में - यूक्लिड, आर्किमिडीज़, पेर्गा के अपोलोनियस। रोमन काल के दौरान, इन संबंधों का पहले से ही मेनेलॉस (पहली शताब्दी ईस्वी) द्वारा काफी व्यवस्थित रूप से अध्ययन किया गया था, हालांकि उन्हें कोई विशेष नाम नहीं मिला।

इसके बाद के काल में गणित का विकास भारतीय और अरब वैज्ञानिकों द्वारा लंबे समय तक सबसे अधिक सक्रिय रूप से किया गया। IV-V सदियों में। विशेष रूप से, महान भारतीय वैज्ञानिक आर्यभट्ट (476 - लगभग 550) के खगोल विज्ञान पर कार्यों में एक विशेष शब्द दिखाई दिया, जिनके नाम पर पृथ्वी के पहले भारतीय उपग्रह का नाम रखा गया था। उन्होंने खंड को अर्धजीव कहा.

बाद में, छोटा नाम जीवा अपनाया गया। 9वीं शताब्दी में अरब गणितज्ञ। जीवा (या जिबा) शब्द को अरबी शब्द जाइब (उत्तलता) से बदल दिया गया था। 12वीं शताब्दी में अरबी गणितीय ग्रंथों का अनुवाद करते समय। इस शब्द का स्थान लैटिन ने ले लिया हैसाइनस (साइनस - मोड़, वक्रता)।

कोसाइन शब्द बहुत छोटा है।कोज्या लैटिन अभिव्यक्ति पूरक साइन का संक्षिप्त रूप है, यानी "अतिरिक्त साइन" (या अन्यथा "अतिरिक्त चाप की साइन"; याद रखें क्योंकि कॉस ए = पाप (90° - ए))।

स्पर्शरेखा छाया की लंबाई निर्धारित करने की समस्या को हल करने के संबंध में उत्पन्न हुआ। स्पर्शरेखा (साथ ही कोटैंजेंट, सेकेंट और कोसेकेंट) को 10वीं शताब्दी में पेश किया गया था। अरब गणितज्ञ अबुल-वफ़ा, जिन्होंने स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट खोजने के लिए पहली तालिकाएँ संकलित कीं। हालाँकि, ये खोजें लंबे समय तक यूरोपीय वैज्ञानिकों के लिए अज्ञात रहीं और 14वीं शताब्दी में स्पर्शरेखाओं को फिर से खोजा गया। पहले अंग्रेजी वैज्ञानिक टी. ब्रेवरडिन द्वारा, और बाद में जर्मन गणितज्ञ और खगोलशास्त्री रेजियोमोंटानस (1467) द्वारा।

नाम "स्पर्शरेखा", लैटिन टैंगर (स्पर्श करने के लिए) से लिया गया है, 1583 में सामने आया। स्पर्शरेखा का अनुवाद "स्पर्श करने" के रूप में किया जाता है (स्पर्शरेखा रेखा इकाई वृत्त की स्पर्शरेखा है)।

आधुनिक पदनामआर्कसिन और आर्कटग 1772 में विनीज़ गणितज्ञ शेफ़र और प्रसिद्ध फ्रांसीसी वैज्ञानिक लैग्रेंज के कार्यों में दिखाई देते हैं, हालांकि कुछ समय पहले ही जे. बर्नौली ने उन पर विचार किया था, जिन्होंने विभिन्न प्रतीकवाद का उपयोग किया था। लेकिन इन प्रतीकों को आम तौर पर 18वीं सदी के अंत में ही स्वीकार किया गया। उपसर्ग "आर्क" लैटिन से आया है आर्कस(धनुष, चाप), जो अवधारणा के अर्थ के साथ काफी सुसंगत है: आर्कसिन एक्स, उदाहरण के लिए, एक कोण है (और कोई चाप कह सकता है), जिसकी साइन एक्स के बराबर है।

लंबे समय तक, त्रिकोणमिति ज्यामिति के भाग के रूप में विकसित हुई. शायद त्रिकोणमिति के विकास के लिए सबसे बड़ा प्रोत्साहन खगोल विज्ञान की समस्याओं के समाधान के संबंध में उत्पन्न हुआ, जो बहुत व्यावहारिक रुचि के थे (उदाहरण के लिए, जहाज के स्थान का निर्धारण करने, ग्रहणों की भविष्यवाणी करने आदि की समस्याओं को हल करने के लिए)।

खगोलशास्त्री एक गोले पर बने बड़े वृत्तों से बने गोलाकार त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों में रुचि रखते थे।

किसी भी मामले में, ज्यामितीय रूप में, प्राचीन ग्रीक, भारतीय और अरब गणितज्ञों द्वारा कई त्रिकोणमिति सूत्रों की खोज और पुनः खोज की गई थी। (सच है, त्रिकोणमितीय कार्यों के अंतर के सूत्र केवल 17वीं शताब्दी में ज्ञात हुए - वे त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ गणना को सरल बनाने के लिए अंग्रेजी गणितज्ञ नेपियर द्वारा प्राप्त किए गए थे। और साइन तरंग का पहला चित्र 1634 में दिखाई दिया।)

सी. टॉलेमी द्वारा साइन की पहली तालिका का संकलन (लंबे समय तक इसे जीवा की तालिका कहा जाता था) मौलिक महत्व का था: कई लागू समस्याओं और मुख्य रूप से खगोल विज्ञान की समस्याओं को हल करने का एक व्यावहारिक साधन सामने आया।

त्रिकोणमिति को आधुनिक रूप 18वीं शताब्दी के महानतम गणितज्ञ ने दिया थाएल . यूलर(1707-1783), जन्म से स्विस, ने कई वर्षों तक रूस में काम किया और सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य थे। यह यूलर ही थे जिन्होंने सबसे पहले त्रिकोणमितीय कार्यों की प्रसिद्ध परिभाषाएँ पेश कीं, एक मनमाना कोण के कार्यों पर विचार करना शुरू किया और कमी सूत्र प्राप्त किए। यह सब उसका एक छोटा सा हिस्सा है जो यूलर अपने लंबे जीवन के दौरान गणित में करने में कामयाब रहे: उन्होंने 800 से अधिक पत्र लिखे और गणित के विभिन्न क्षेत्रों से संबंधित कई प्रमेयों को साबित किया जो क्लासिक बन गए हैं। (इस तथ्य के बावजूद कि 1776 में यूलर ने अपनी दृष्टि खो दी थी, उन्होंने अपने अंतिम दिनों तक अधिक से अधिक कार्यों को निर्देशित करना जारी रखा।)

यूलर के बाद, त्रिकोणमिति ने कैलकुलस का रूप प्राप्त कर लिया: त्रिकोणमिति सूत्रों के औपचारिक अनुप्रयोग के माध्यम से विभिन्न तथ्य सिद्ध होने लगे, प्रमाण अधिक संक्षिप्त और सरल हो गए।

त्रिकोणमिति का दायरा गणित के विभिन्न क्षेत्रों, प्राकृतिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी के कुछ वर्गों को शामिल करता है।

त्रिकोणमिति की कई किस्में हैं:

गोलाकार त्रिकोणमिति गोलाकार त्रिभुजों के अध्ययन से संबंधित है।


रेक्टिलिनियर या प्लेन त्रिकोणमिति आमतौर पर त्रिकोणों का अध्ययन करती है।

प्राचीन यूनानी और हेलेनिस्टिक वैज्ञानिकों ने त्रिकोणमिति का महत्वपूर्ण विकास किया। हालाँकि, यूक्लिड और आर्किमिडीज़ के कार्यों में त्रिकोणमिति को ज्यामितीय रूप में प्रस्तुत किया गया है। जीवा लंबाई प्रमेय ज्या के नियमों पर लागू होते हैं। और जीवाओं को विभाजित करने के लिए आर्किमिडीज़ का प्रमेय कोणों के योग और अंतर की ज्याओं के सूत्रों से मेल खाता है।

वर्तमान में, गणितज्ञ ज्ञात प्रमेयों के एक नए अंकन का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, पाप α/ पाप β< α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, тем самым, компенсируют недостатки таблиц хорд, времен Аристарха Самосского.

माना जाता है कि पहली त्रिकोणमिति सारणी संकलित की गई थी निकिया का हिप्पार्कस, जिन्हें सही मायनों में "त्रिकोणमिति का जनक" माना जाता है। उन्हें कोणों की एक श्रृंखला के लिए चापों और जीवाओं के परिमाण की एक सारांश तालिका बनाने का श्रेय दिया जाता है। इसके अलावा, यह निकिया का हिप्पार्कस था जिसने सबसे पहले 360° सर्कल का उपयोग करना शुरू किया था।

क्लॉडियस टॉलेमी ने हिप्पार्कस की शिक्षाओं को महत्वपूर्ण रूप से विकसित और विस्तारित किया। टॉलेमी का प्रमेय कहता है: चक्रीय चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के गुणनफल का योग विकर्णों के गुणनफल के बराबर होता है। टॉलेमी के प्रमेय का एक परिणाम साइन और कोसाइन के लिए चार योग और अंतर सूत्रों की तुल्यता की समझ थी। इसके अलावा, टॉलेमी ने आधे कोण का सूत्र निकाला। टॉलेमी ने अपने सभी परिणामों का उपयोग त्रिकोणमितीय तालिकाओं को संकलित करने में किया। दुर्भाग्य से, हिप्पार्कस और टॉलेमी की एक भी प्रामाणिक त्रिकोणमिति तालिका आज तक नहीं बची है।

त्रिकोणमितीय गणनाओं ने ज्यामिति, भौतिकी और इंजीनियरिंग के लगभग सभी क्षेत्रों में अपना अनुप्रयोग पाया है।
त्रिकोणमिति (त्रिकोणीकरण तकनीक) का उपयोग करके, आप तारों के बीच, भूगोल में स्थलों के बीच की दूरी माप सकते हैं, और उपग्रह नेविगेशन सिस्टम को नियंत्रित कर सकते हैं।

त्रिकोणमिति का उपयोग नेविगेशन तकनीक, संगीत सिद्धांत, ध्वनिकी, प्रकाशिकी, वित्तीय बाजारों, इलेक्ट्रॉनिक्स, संभाव्यता सिद्धांत, सांख्यिकी, जीव विज्ञान और चिकित्सा, रसायन विज्ञान और संख्या सिद्धांत (क्रिप्टोग्राफी), भूकंप विज्ञान, मौसम विज्ञान, समुद्र विज्ञान, कार्टोग्राफी, स्थलाकृति के विश्लेषण में सफलतापूर्वक किया जाता है। और भूगणित, वास्तुकला और ध्वन्यात्मकता, मैकेनिकल इंजीनियरिंग और कंप्यूटर ग्राफिक्सइ।

त्रिकोणमिति- (ग्रीक ट्रिग्नॉन से - त्रिकोण और मेट्रू - माप) - एक गणितीय अनुशासन जो त्रिकोण और त्रिकोणमितीय कार्यों के कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों का अध्ययन करता है।

शब्द "त्रिकोणमिति" को 1595 में जर्मन गणितज्ञ और धर्मशास्त्री बार्थोलोमेव पिटिस्कस द्वारा प्रयोग में लाया गया था, जो त्रिकोणमिति और त्रिकोणमिति तालिकाओं पर एक पाठ्यपुस्तक के लेखक थे। 16वीं सदी के अंत तक. अधिकांश त्रिकोणमितीय फलन पहले से ही ज्ञात थे, हालाँकि यह अवधारणा अभी तक अस्तित्व में नहीं थी।

त्रिकोणमिति में, तीन प्रकार के संबंध होते हैं: 1) स्वयं त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच; 2) एक समतल त्रिभुज के तत्वों के बीच (एक समतल पर त्रिकोणमिति); 3) एक गोलाकार त्रिभुज के तत्वों के बीच, अर्थात। एक गोले पर उसके केंद्र से गुजरने वाले तीन तलों द्वारा उकेरी गई एक आकृति। त्रिकोणमिति की शुरुआत सबसे जटिल, गोलाकार भाग से हुई। यह मुख्यतः व्यावहारिक आवश्यकताओं से उत्पन्न हुआ। पूर्वजों ने स्वर्गीय पिंडों की गति का अवलोकन किया। वैज्ञानिकों ने एक कैलेंडर बनाए रखने और बुआई और कटाई के प्रारंभ समय और धार्मिक छुट्टियों की तारीखों को सही ढंग से निर्धारित करने के लिए माप डेटा को संसाधित किया। तारों का उपयोग समुद्र में जहाज के स्थान या रेगिस्तान में कारवां की गति की दिशा की गणना करने के लिए किया जाता था। ज्योतिषी भी प्राचीन काल से तारों वाले आकाश का अवलोकन करते रहे हैं।

स्वाभाविक रूप से, आकाश में प्रकाशमानों के स्थान से संबंधित सभी माप अप्रत्यक्ष माप हैं। सीधी रेखाएँ केवल पृथ्वी की सतह पर ही खींची जा सकती थीं, लेकिन यहाँ भी कुछ बिंदुओं के बीच की दूरी को सीधे निर्धारित करना हमेशा संभव नहीं था और फिर उन्होंने अप्रत्यक्ष माप का सहारा लिया। उदाहरण के लिए, उन्होंने किसी पेड़ की छाया की लंबाई की तुलना किसी खंभे की छाया की लंबाई से करके उसकी ऊंचाई की गणना की, जिसकी ऊंचाई ज्ञात थी। समुद्र में द्वीप के आकार की गणना इसी प्रकार की गई थी। ऐसी समस्याएँ एक त्रिभुज के विश्लेषण में सामने आती हैं, जिसमें इसके कुछ तत्व दूसरों के माध्यम से व्यक्त होते हैं। त्रिकोणमिति यही करती है। और चूँकि पूर्वजों ने तारों और ग्रहों को आकाशीय गोले पर बिंदुओं के रूप में देखा था, इसलिए सबसे पहले गोलाकार त्रिकोणमिति का विकास शुरू हुआ। इसे खगोल विज्ञान की एक शाखा माना जाता था।

और यह सब बहुत समय पहले शुरू हुआ था। त्रिकोणमिति पर पहली खंडित जानकारी प्राचीन बेबीलोन की क्यूनिफॉर्म गोलियों पर संरक्षित की गई थी। मेसोपोटामिया के खगोलविदों ने पृथ्वी और सूर्य की स्थिति की भविष्यवाणी करना सीखा, और उन्हीं से डिग्री, मिनट और सेकंड में कोणों को मापने की प्रणाली हमारे पास आई, क्योंकि बेबीलोनियों ने एक सेक्सजेसिमल संख्या प्रणाली को अपनाया था।

हालाँकि, पहली महत्वपूर्ण उपलब्धियाँ प्राचीन यूनानी वैज्ञानिकों की थीं। उदाहरण के लिए, दूसरी पुस्तक की 12वीं और 13वीं प्रमेय शुरू कियायूक्लिड (चौथी-तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व के अंत में) अनिवार्य रूप से कोसाइन प्रमेय को व्यक्त करते हैं। दूसरी शताब्दी में. ईसा पूर्व. निकिया के खगोलशास्त्री हिप्पार्कस (180-125 ईसा पूर्व) ने त्रिकोणों के तत्वों के बीच संबंधों को निर्धारित करने के लिए एक तालिका तैयार की। ऐसी तालिकाओं की आवश्यकता होती है क्योंकि त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना अंकगणितीय परिचालनों का उपयोग करके उनके तर्कों से नहीं की जा सकती है। त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना पहले से की जानी थी और तालिकाओं में संग्रहीत की जानी थी। हिप्पार्कस ने किसी दिए गए त्रिज्या के एक वृत्त में जीवाओं की लंबाई की गणना की, जो 0 से 180° तक के सभी कोणों, 7.5° के गुणजों के अनुरूप है। मूलतः, यह ज्याओं की एक तालिका है। हिप्पार्कस के कार्य हम तक नहीं पहुंचे हैं, लेकिन उनमें से कई जानकारी इसमें शामिल हैं अल्मागेस्ट(द्वितीय शताब्दी) - ग्रीक खगोलशास्त्री और गणितज्ञ क्लॉडियस टॉलेमी (मृत्यु लगभग 160 ईस्वी) की 13 पुस्तकों में एक प्रसिद्ध कृति। प्राचीन यूनानियों को साइन, कोसाइन और टैंगेंट नहीं पता था; इन मात्राओं की तालिकाओं के बजाय, उन्होंने तालिकाओं का उपयोग किया जिससे एक अंतरित चाप के साथ एक वृत्त की जीवा को ढूंढना संभव हो गया। में अल्मागेस्टलेखक 60 इकाइयों की त्रिज्या वाले एक वृत्त की जीवाओं की लंबाई की एक तालिका प्रदान करता है, जिसकी गणना एक इकाई के 1/3600 की सटीकता के साथ 0.5° की वृद्धि में की जाती है, और बताता है कि यह तालिका कैसे संकलित की गई थी। टॉलेमी का काम कई शताब्दियों तक खगोलविदों के लिए त्रिकोणमिति के परिचय के रूप में कार्य करता रहा।

यह समझने के लिए कि प्राचीन वैज्ञानिकों ने त्रिकोणमितीय तालिकाएँ कैसे संकलित कीं, आपको टॉलेमी की पद्धति से परिचित होना होगा। विधि प्रमेय पर आधारित है - एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज के विकर्णों का गुणनफल उसकी विपरीत भुजाओं के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

होने देना ए बी सी डीउत्कीर्ण चतुर्भुज , विज्ञापन -एक वृत्त का व्यास, और एक बिंदु हे- इसका केंद्र (चित्र 1)। यदि आप जानते हैं कि कोणों को अंतरित करने वाली जीवाओं की गणना कैसे की जाती है डॉक्टर= ए और जन्मतिथि =बी, यानी पक्ष सीडीऔर विकर्ण बी,फिर, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, समकोण त्रिभुज से अभिभाषकऔर एडीसीपाया जा सकता है एबी और एसी,और फिर, टॉलेमी के प्रमेय के अनुसार, - ईसा पूर्व = (एसी· ВD - АВ· सीडी) /विज्ञापन, अर्थात। एक कोण अंतरित करने वाली जीवा आप ऐसा= बी - एक। कुछ जीवाएँ, जैसे वर्ग की भुजाएँ, नियमित षट्भुज और 90, 60 और 45° के कोणों के अनुरूप अष्टकोण, निर्धारित करना आसान है। एक नियमित पंचभुज का किनारा भी ज्ञात है, जो 72° का चाप बनाता है। उपरोक्त नियम आपको इन कोणों के अंतर के लिए जीवाओं की गणना करने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए 12° = 72° - 60° के लिए। इसके अलावा, आप आधे कोणों की जीवाएँ पा सकते हैं, लेकिन यह गणना करने के लिए पर्याप्त नहीं है कि 1° के चाप की जीवा किसके बराबर होती है, यदि केवल इसलिए कि ये सभी कोण 3° के गुणज हैं। जीवा 1° के लिए, टॉलेमी ने एक अनुमान पाया, जिसमें दिखाया गया कि यह जीवा (3/2)° के 2/3 से अधिक और जीवा (3/4)° के 4/3 से कम है - दो संख्याएँ जो पर्याप्त रूप से मेल खाती हैं उसकी तालिकाओं के लिए सटीकता।

यदि यूनानियों ने कोणों से जीवाओं की गणना की, तो भारतीय खगोलविदों ने चौथी-पांचवीं शताब्दी के कार्यों में। दोहरे चाप के अर्धवृत्तों की ओर आगे बढ़े, अर्थात्। बिल्कुल ज्या रेखाओं के समान (चित्र 2)। उन्होंने कोसाइन की रेखाओं का भी उपयोग किया - या बल्कि, कोसाइन ही नहीं, बल्कि "उलटा" साइन, जिसे बाद में यूरोप में "साइन-बनाम" नाम मिला; अब यह फ़ंक्शन 1 - कॉस के बराबर है ए, अब उपयोग नहीं किया जाता। इसके बाद, उसी दृष्टिकोण ने एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषा को जन्म दिया।

खंडों की माप की प्रति इकाई एमपी,सेशन,देहातआर्क मिनट लिया गया. तो, चाप की ज्या रेखा अब= 90° हाँ ओ.बी.- वृत्त की त्रिज्या; आर्क अल, त्रिज्या के बराबर, (गोल) 57°18" = 3438" होता है।

साइन की भारतीय तालिकाएँ जो हमारे पास आई हैं (सबसे पुरानी चौथी-पाँचवीं शताब्दी ईस्वी में संकलित की गई थीं) टॉलेमिक तालिकाओं जितनी सटीक नहीं हैं; वे 3°45" के अंतराल पर (अर्थात् चतुर्थांश चाप के 1/24वें भाग पर) बने हैं।

शब्द "साइन" और "कोसाइन" भारतीयों से आए हैं, लेकिन एक विचित्र गलतफहमी के बिना नहीं। भारतीयों ने आधे तार को "अर्धजीवा" (संस्कृत से "धनुष की आधी डोरी" के रूप में अनुवादित) कहा, और फिर इस शब्द को छोटा करके "जीव" कर दिया। मुस्लिम खगोलशास्त्रियों और गणितज्ञों, जिन्होंने भारतीयों से त्रिकोणमिति का ज्ञान प्राप्त किया, ने इसे "जिबा" के रूप में लिया और फिर यह "जाइब" में बदल गया, जिसका अरबी में अर्थ "उत्तलता", "साइनस" है। अंततः, 7वीं शताब्दी में। "जिबे" का शाब्दिक अनुवाद लैटिन में "साइनस" के रूप में किया गया था , जिसका उस अवधारणा से कोई लेना-देना नहीं था जो वह दर्शाता है। संस्कृत में "कोटिजिवा" शेषफल (90° तक) की ज्या है, और लैटिन में यह साइनस पूरक है, यानी। साइन पूरक, 17वीं शताब्दी में। "कोसाइन" शब्द को संक्षिप्त किया गया। "स्पर्शरेखा" और "सेकेंट" नाम (लैटिन से अनुवादित जिसका अर्थ है "स्पर्शरेखा" और "सेकेंट") 1583 में जर्मन वैज्ञानिक फ़िंक द्वारा पेश किए गए थे।

अल-बत्तानी (लगभग 900 ई.) जैसे अरब वैज्ञानिकों ने त्रिकोणमिति के विकास में महान योगदान दिया। 10वीं सदी में बुजान के बगदाद वैज्ञानिक मुहम्मद, जिन्हें अबू-एल-वेफ़ा (940-997) के नाम से जाना जाता है, ने साइन और कोसाइन की रेखाओं में स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट, सेकेंट और कोसेकेंट की रेखाएँ जोड़ीं। वह उन्हें वही परिभाषाएँ देता है जो हमारी पाठ्यपुस्तकों में हैं। अबुल-वेफ़ा इन पंक्तियों के बीच बुनियादी संबंध भी स्थापित करता है।

तो, 10वीं शताब्दी के अंत तक। इस्लामी दुनिया के वैज्ञानिक पहले से ही साइन और कोसाइन के साथ-साथ चार अन्य कार्यों को संचालित कर रहे हैं - स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट, सेकेंट और कोसेकेंट; समतल और गोलाकार त्रिकोणमिति के कई महत्वपूर्ण प्रमेयों की खोज की और उन्हें सिद्ध किया; उन्होंने इकाई त्रिज्या के एक वृत्त का उपयोग किया (जिससे आधुनिक अर्थों में त्रिकोणमितीय कार्यों की व्याख्या करना संभव हो गया); गोलाकार त्रिभुज के ध्रुवीय त्रिभुज का आविष्कार किया। अरब गणितज्ञों ने सटीक तालिकाएँ संकलित कीं, उदाहरण के लिए, 1" के चरण और 1/700,000,000 की सटीकता के साथ साइन और स्पर्शरेखा की तालिकाएँ। एक बहुत ही महत्वपूर्ण व्यावहारिक कार्य यह था: पाँच दैनिक प्रार्थनाओं के लिए मक्का की दिशा निर्धारित करना सीखें, जहाँ भी हो मुसलमान था.

त्रिकोणमिति के विकास पर उनका विशेष रूप से बहुत प्रभाव था। संपूर्ण चतुर्भुज पर ग्रंथतुस के खगोलशास्त्री नासिर-एड-दीन (1201-1274), जिन्हें अत-तुसी के नाम से भी जाना जाता है। यह दुनिया का पहला काम था जिसमें त्रिकोणमिति को गणित की एक स्वतंत्र शाखा के रूप में माना गया था।

12वीं सदी में कई खगोलीय कार्यों का अरबी से लैटिन में अनुवाद किया गया, जिसके माध्यम से यूरोपीय पहली बार त्रिकोणमिति से परिचित हुए।

नासिर-ए-दीन के ग्रंथ ने जर्मन खगोलशास्त्री और गणितज्ञ जोहान मुलर (1436-1476) पर बहुत प्रभाव डाला। समकालीन लोग उन्हें रेजीओमोंटाना नाम से बेहतर जानते थे (इस तरह उनके गृहनगर कोनिग्सबर्ग का नाम, जो अब कलिनिनग्राद है, लैटिन में अनुवादित होता है)। रेजीओमोंटानस ने साइन्स की व्यापक तालिकाएँ संकलित कीं (सातवें महत्वपूर्ण अंक तक 1 मिनट)। पहली बार, उन्होंने त्रिज्या के सेक्सजेसिमल विभाजन से विचलन किया और साइन रेखा के लिए माप की इकाई के रूप में त्रिज्या का दस लाखवां हिस्सा लिया। इस प्रकार, ज्याओं को पूर्ण संख्याओं के रूप में व्यक्त किया गया था न कि सेक्सजेसिमल भिन्नों के रूप में। दशमलव का प्रचलन केवल एक कदम दूर था, लेकिन इसमें 100 वर्ष से अधिक का समय लग गया। लेबर रेजीओमोंटाना सभी प्रकार के त्रिभुजों के बारे में पाँच पुस्तकेंयूरोपीय गणित में वही भूमिका निभाई जो मुस्लिम देशों के विज्ञान में नासिर-ए-दीन के काम ने निभाई।

रेजीओमोंटानस की तालिकाओं का कई अन्य लोगों ने अनुसरण किया, और भी अधिक विस्तृत। कोपरनिकस के मित्र रैटिकस (1514-1576) ने कई सहायकों के साथ मिलकर अपने छात्र ओटो द्वारा 1596 में पूर्ण और प्रकाशित तालिकाओं पर 30 वर्षों तक काम किया। कोण 10 "" से होकर गुजरे, और त्रिज्या को 1,000,000,000,000,000 भागों में विभाजित किया गया, ताकि ज्या में 15 सही अंक हों।

त्रिकोणमिति के आगे के विकास में सूत्रों के संचय और व्यवस्थितकरण, बुनियादी अवधारणाओं के स्पष्टीकरण और शब्दावली और संकेतन के विकास का मार्ग अपनाया गया। कई यूरोपीय गणितज्ञों ने त्रिकोणमिति के क्षेत्र में काम किया। इनमें निकोलस कोपरनिकस (1473-1543), टाइको ब्राहे (1546-1601) और जोहान्स केपलर (1571-1630) जैसे महान वैज्ञानिक शामिल हैं। फ़्राँस्वा वियेटे (1540-1603) ने समतल और गोलाकार त्रिभुजों को हल करने के विभिन्न मामलों को पूरक और व्यवस्थित किया, कई कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए "सपाट" कोसाइन प्रमेय और सूत्रों की खोज की। आइजैक न्यूटन (1643-1727) ने इन कार्यों को श्रृंखला में विस्तारित किया और गणितीय विश्लेषण में उनके उपयोग का मार्ग प्रशस्त किया। लियोनहार्ड यूलर (1707-1783) ने कार्य की अवधारणा और आज स्वीकृत प्रतीकवाद दोनों को प्रस्तुत किया। मात्रा पाप एक्स,क्योंकि एक्सवगैरह। उन्होंने इन्हें संख्याओं का फलन माना एक्स- संगत कोण का रेडियन माप। यूलर ने नंबर दिया एक्ससभी प्रकार के अर्थ: सकारात्मक, नकारात्मक और जटिल भी। उन्होंने त्रिकोणमितीय कार्यों और एक जटिल तर्क के प्रतिपादक के बीच संबंध की भी खोज की, जिससे जटिल संख्याओं के जोड़ और गुणा के नियमों के सरल परिणामों में कई और अक्सर बहुत जटिल त्रिकोणमितीय सूत्रों को बदलना संभव हो गया। उन्होंने व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन भी प्रस्तुत किया।

18वीं सदी के अंत तक. एक विज्ञान के रूप में त्रिकोणमिति पहले ही आकार ले चुकी है। त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग गणितीय विश्लेषण, भौतिकी, रसायन विज्ञान, इंजीनियरिंग में किया गया है - जहां भी किसी को आवधिक प्रक्रियाओं और दोलनों से निपटना पड़ता है - चाहे वह ध्वनिकी, प्रकाशिकी या पेंडुलम का स्विंग हो।

किसी भी त्रिभुज को हल करना अंततः समकोण त्रिभुजों को हल करने में आता है (अर्थात वे जिनमें से एक कोण समकोण है)। चूँकि दिए गए न्यूनकोण वाले सभी समकोण त्रिभुज एक-दूसरे के समान होते हैं, इसलिए उनकी संबंधित भुजाओं का अनुपात समान होता है। उदाहरण के लिए, एक समकोण त्रिभुज में एबीसीइसके दोनों पक्षों का अनुपात, उदाहरण के लिए, पैर एकर्ण को साथ, उदाहरण के लिए, न्यून कोणों में से एक के आकार पर निर्भर करता है ए. एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के विभिन्न युग्मों के अनुपात कहलाते हैं त्रिकोणमितीय कार्यइसका तीव्र कोण. एक त्रिभुज में छह ऐसे संबंध होते हैं, और छह त्रिकोणमितीय कार्य उनके अनुरूप होते हैं (चित्र 3 में त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के पदनाम)।

क्योंकि ए + में= 90°, फिर

पाप ए=क्योंकि बी= cos(90° – ए),

ए=ctg बी= सीटीजी (90° - ए).

परिभाषाओं से कई समानताएं निकलती हैं जो एक ही कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों को एक दूसरे से जोड़ती हैं:

पाइथागोरस प्रमेय को ध्यान में रखते हुए ए 2 + बी 2 = सी 2, आप सभी छह कार्यों को केवल एक के माध्यम से व्यक्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, साइन और कोसाइन मूल त्रिकोणमितीय पहचान से संबंधित हैं

पाप 2 ए+ क्योंकि 2 ए = 1.

कार्यों के बीच कुछ संबंध:

ये सूत्र किसी भी कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए भी मान्य हैं, लेकिन इनका उपयोग सावधानी से किया जाना चाहिए, क्योंकि दाएं और बाएं पक्षों की परिभाषा के अलग-अलग डोमेन हो सकते हैं।

केवल दो समकोण त्रिभुज हैं जिनमें दोनों कोण "अच्छे" हैं (पूर्णांक या डिग्री की तर्कसंगत संख्या में व्यक्त) और भुजाओं का कम से कम एक अनुपात तर्कसंगत है। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है (45, 45 और 90° के कोणों के साथ) और आधा समबाहु त्रिभुज (30, 60, 90° के कोणों के साथ) - ये ठीक दो मामले हैं जब त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना की जा सकती है सीधे परिभाषा के अनुसार. ये मान तालिका में दिए गए हैं

हमारे जीवन में त्रिकोणमिति

बहुत से लोग पूछते हैं: त्रिकोणमिति की आवश्यकता क्यों है? हमारी दुनिया में इसका उपयोग कैसे किया जाता है? त्रिकोणमिति का संबंध किससे हो सकता है? और यहां इन सवालों के जवाब हैं। त्रिकोणमिति या त्रिकोणमिति कार्यों का उपयोग खगोल विज्ञान में किया जाता है (विशेषकर खगोलीय पिंडों की स्थिति की गणना के लिए) जब गोलाकार त्रिकोणमिति की आवश्यकता होती है, समुद्र और वायु नेविगेशन में, संगीत सिद्धांत में, ध्वनिकी में, प्रकाशिकी में, वित्तीय बाजार विश्लेषण में, इलेक्ट्रॉनिक्स में, संभाव्यता में सिद्धांत, सांख्यिकी, जीव विज्ञान, चिकित्सा इमेजिंग जैसे कंप्यूटेड टोमोग्राफी और अल्ट्रासाउंड, फार्मेसी, रसायन विज्ञान, संख्या सिद्धांत, भूकंप विज्ञान, मौसम विज्ञान, समुद्र विज्ञान, कई भौतिक विज्ञान, भूमि सर्वेक्षण और सर्वेक्षण, वास्तुकला, ध्वन्यात्मकता, अर्थशास्त्र में, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, में मैकेनिकल इंजीनियरिंग में, सिविल इंजीनियरिंग में, कंप्यूटर ग्राफिक्स में, कार्टोग्राफी में, क्रिस्टलोग्राफी में, गेम डेवलपमेंट में और कई अन्य क्षेत्रों में।

भूमंडल नापने का शास्र

सर्वेक्षकों को अक्सर साइन और कोसाइन से निपटना पड़ता है। उनके पास कोणों को सटीकता से मापने के लिए विशेष उपकरण होते हैं। साइन और कोसाइन का उपयोग करके, कोणों को पृथ्वी की सतह पर बिंदुओं की लंबाई या निर्देशांक में परिवर्तित किया जा सकता है।

प्राचीन खगोल विज्ञान

त्रिकोणमिति की शुरुआत प्राचीन मिस्र, बेबीलोन और प्राचीन चीन की गणितीय पांडुलिपियों में पाई जा सकती है। रिंडा पपीरस (दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व) की 56वीं समस्या एक पिरामिड का झुकाव खोजने का सुझाव देती है जिसकी ऊंचाई 250 हाथ है और आधार पक्ष की लंबाई 360 हाथ है।

त्रिकोणमिति का आगे का विकास खगोलशास्त्री एरिस्टार्चस के नाम से जुड़ा है समोस (तृतीय शताब्दी ईसा पूर्व)। उनके ग्रंथ "सूर्य और चंद्रमा के परिमाण और दूरियों पर" ने आकाशीय पिंडों की दूरियां निर्धारित करने की समस्या प्रस्तुत की; इस समस्या के लिए एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात की गणना करना आवश्यक थाकिसी एक कोण के ज्ञात मान के लिए। एरिस्टार्चस ने चतुर्भुज के दौरान सूर्य, चंद्रमा और पृथ्वी द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज माना. उसे आसन्न कोण (87°) के ज्ञात मान के साथ कर्ण (पृथ्वी से सूर्य की दूरी) के पैर (पृथ्वी से चंद्रमा की दूरी) के मान की गणना करने की आवश्यकता थी, जो गणना के बराबर है मूल्यकोण का पाप 3. अरिस्टार्चस के अनुसार यह मान 1/20 से 1/18 तक है, अर्थात सूर्य की दूरी चंद्रमा से 20 गुना अधिक है; वास्तव में, सूर्य चंद्रमा से लगभग 400 गुना अधिक दूर है, जो कोण की माप में अशुद्धि के कारण हुई त्रुटि है।

कई दशकों बादक्लॉडियस टॉलेमी अपनी कृतियों "भूगोल", "एनालेम्मा" और "प्लैनिस्फेरियम" में उन्होंने मानचित्रकला, खगोल विज्ञान और यांत्रिकी में त्रिकोणमितीय अनुप्रयोगों की विस्तृत प्रस्तुति दी है। अन्य बातों के अलावा, इसका वर्णन किया गया हैस्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण, कई व्यावहारिक समस्याओं का अध्ययन किया गया है, उदाहरण के लिए: ऊंचाई और अज़ीमुथ का निर्धारणउनके अनुसार स्वर्गीय शरीरझुकाव और घंटा कोण. त्रिकोणमिति के संदर्भ में, इसका मतलब है कि आपको एक गोलाकार त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं और विपरीत कोण से भुजा ज्ञात करने की आवश्यकता है।

· दिन के समय का सटीक निर्धारण;

· आकाशीय पिंडों की भविष्य की स्थिति, उनके सूर्योदय और सूर्यास्त के क्षण, सूर्य ग्रहण की गणनाऔर चंद्रमा;

· वर्तमान स्थान के भौगोलिक निर्देशांक ढूँढना;

· ज्ञात शहरों के बीच की दूरी की गणनाभौगोलिक निर्देशांक.

ग्नोमन सबसे पुराना खगोलीय उपकरण है, एक ऊर्ध्वाधर वस्तु (स्टील, स्तंभ, ध्रुव),

इसकी छाया की लंबाई (दोपहर के समय) सूर्य की कोणीय ऊंचाई निर्धारित करती है।

इस प्रकार, कोटैंजेंट को 12 (कभी-कभी 7) इकाइयों की ऊंचाई के साथ एक ऊर्ध्वाधर सूक्ति से छाया की लंबाई के रूप में समझा जाता था; प्रारंभ में इन अवधारणाओं का उपयोग धूपघड़ी की गणना के लिए किया जाता था। स्पर्शरेखा एक क्षैतिज सूक्ति की छाया थी। कोसेकेंट और सेकेंट संगत समकोण त्रिभुज के कर्ण थे (बाईं ओर के चित्र में खंड AO)

वास्तुकला

त्रिकोणमिति का व्यापक रूप से निर्माण और विशेषकर वास्तुकला में उपयोग किया जाता है। अधिकांश रचनात्मक समाधान और निर्माण

चित्र ज्यामिति की सहायता से सटीक बनाए गए थे। लेकिन सैद्धांतिक डेटा का कोई मतलब नहीं है. मैं कला के स्वर्ण युग के एक फ्रांसीसी मास्टर द्वारा एक मूर्ति के निर्माण का उदाहरण देना चाहूंगा।

प्रतिमा के निर्माण में आनुपातिक संबंध आदर्श था। हालाँकि, जब मूर्ति को ऊँचे आसन पर खड़ा किया गया तो वह बदसूरत दिखने लगी। मूर्तिकार ने इस बात पर ध्यान नहीं दिया कि परिप्रेक्ष्य में, क्षितिज की ओर, कई विवरण कम हो जाते हैं और नीचे से ऊपर देखने पर उसकी आदर्शता का आभास नहीं रह जाता है। बाहर किया गया

बड़ी ऊंचाई से आकृति को आनुपातिक दिखाने के लिए बहुत सारी गणनाएँ की गईं। वे मुख्य रूप से देखने की विधि पर आधारित थे, यानी आँख से अनुमानित माप। हालाँकि, कुछ अनुपातों के अंतर गुणांक ने आंकड़े को आदर्श के करीब बनाना संभव बना दिया। इस प्रकार, प्रतिमा से दृश्य बिंदु तक, अर्थात् प्रतिमा के शीर्ष से व्यक्ति की आंखों तक की अनुमानित दूरी और प्रतिमा की ऊंचाई को जानकर, हम एक तालिका का उपयोग करके दृश्य के आपतन कोण की ज्या की गणना कर सकते हैं ( हम निचले दृष्टिकोण के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं), जिससे बिंदु दृष्टि का पता लगाया जा सके

जैसे-जैसे मूर्ति को ऊंचाई पर उठाया जाता है, स्थिति बदलती जाती है, इसलिए मूर्ति के शीर्ष से व्यक्ति की आंखों तक की दूरी बढ़ती जाती है, और इसलिए आपतन कोण की ज्या बढ़ती है। पहले और दूसरे मामले में मूर्ति के शीर्ष से जमीन तक की दूरी में परिवर्तन की तुलना करके, हम आनुपातिकता का गुणांक पा सकते हैं। इसके बाद, हमें एक चित्र प्राप्त होगा, और फिर एक मूर्तिकला, जब उठाया जाएगा, तो आकृति दृष्टि से आदर्श के करीब होगी

चिकित्सा और जीव विज्ञान.

बोहरिद्म मॉडलत्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके इसका निर्माण किया जा सकता है। बायोरिदम मॉडल बनाने के लिए, आपको व्यक्ति की जन्मतिथि, संदर्भ तिथि (दिन, महीना, वर्ष) और पूर्वानुमान अवधि (दिनों की संख्या) दर्ज करनी होगी।

हृदय सूत्र. एक ईरानी विश्वविद्यालय के छात्र द्वारा किए गए एक अध्ययन के परिणामस्वरूप वाहिद-रज़ा अब्बासी द्वारा शिराज,पहली बार, डॉक्टर हृदय की विद्युत गतिविधि या, दूसरे शब्दों में, इलेक्ट्रोकार्डियोग्राफी से संबंधित जानकारी व्यवस्थित करने में सक्षम हुए। सूत्र एक जटिल बीजीय-त्रिकोणमितीय समीकरण है जिसमें 8 अभिव्यक्तियाँ, 32 गुणांक और 33 मुख्य पैरामीटर शामिल हैं, जिनमें अतालता के मामलों में गणना के लिए कई अतिरिक्त पैरामीटर भी शामिल हैं। डॉक्टरों के अनुसार, यह सूत्र हृदय गतिविधि के मुख्य मापदंडों का वर्णन करने की प्रक्रिया को बहुत सुविधाजनक बनाता है, जिससे निदान और उपचार की शुरुआत में तेजी आती है।

त्रिकोणमिति हमारे मस्तिष्क को वस्तुओं से दूरी निर्धारित करने में भी मदद करती है।

अमेरिकी वैज्ञानिकों का दावा है कि मस्तिष्क पृथ्वी के तल और दृष्टि के तल के बीच के कोण को मापकर वस्तुओं से दूरी का अनुमान लगाता है। सच कहूँ तो, "कोण मापने" का विचार नया नहीं है। यहां तक ​​कि प्राचीन चीन के कलाकारों ने भी परिप्रेक्ष्य के नियमों की कुछ हद तक उपेक्षा करते हुए दूर की वस्तुओं को देखने के क्षेत्र में उच्चतर चित्रित किया। कोणों का अनुमान लगाकर दूरी निर्धारित करने का सिद्धांत 11वीं शताब्दी के अरब वैज्ञानिक अल्हाज़ेन द्वारा तैयार किया गया था। पिछली शताब्दी के मध्य में विस्मृति की लंबी अवधि के बाद, इस विचार को मनोवैज्ञानिक जेम्स द्वारा पुनर्जीवित किया गया था

गिब्सन (जेम्स गिब्सन), जिन्होंने सैन्य विमानन पायलटों के साथ काम करने के अपने अनुभव के आधार पर अपने निष्कर्ष निकाले। हालाँकि, उसके बाद सिद्धांत के बारे में

फिर से भूल गया.

अंदर मछलियों का आना-जाना पानी साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार होता है, यदि आप पूंछ पर एक बिंदु तय करते हैं और फिर गति के प्रक्षेपवक्र पर विचार करते हैं। तैरते समय मछली का शरीर आकार लेता है

एक वक्र जो फ़ंक्शन y=tgx के ग्राफ़ जैसा दिखता है।

मापने का कार्य